這個(gè)定理是斯坦納—萊默斯定理,定理內(nèi)容是：有兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形.
這個(gè)問(wèn)題是1840年萊默斯在給斯圖姆的一封信中提出的.他請(qǐng)出給出一個(gè)純幾何學(xué)的證明.斯圖姆向許多數(shù)學(xué)家提到了這件事.首先回答這個(gè)問(wèn)題的是瑞士幾何大師斯坦納.后來(lái)該定理就以斯坦納—萊默斯定理而聞名于世.
方法一：(這個(gè)是在百度知道上搜索的)
設(shè)三角形ABC,角B、角C的平分線是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
設(shè)∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴過(guò)C點(diǎn)作FB的垂線和過(guò)F點(diǎn)作CE的垂線必都在FB和CE的延長(zhǎng)線上.
設(shè)垂足分別為G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
連接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
證明二：〈請(qǐng)讀者自行畫(huà)圖〉
設(shè)AB>AC,于是角ACB>角ABC 角BCF=FCE=ACB>1/2角ABC=CBE=CBF 在三角形BCF和三角形CBF中 BC=BC BE=CF 角BCF>CBE 所以BF>CE <1>
作平行四邊形BEGF,則角EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 連接CG,三角形FCG為等腰三角形 則角FCG=FGC
因?yàn)榻荈CE>FGE 所以角ECGEG=BF <2>
顯然〈1〉〈2〉矛盾 同理AB證明三：引證:若三角形AD為角平分線,則BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c)
由斯特瓦爾特定理得：c2(ab/(b+c))+b2(ac/(b+c))-aAD2=aa2bc/(b+c)2 則AD2=bc(1-(a/(b+c)2)
三角形ABC中BE CF為角B C的平分線 由BE=CE得 ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以a(a+b+c)((a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0
所以b=c