在剛體的質(zhì)心C上建立另一個與平行的連體基.質(zhì)心C相對于O的矢徑為.質(zhì)點Pk相對于點O與C的矢徑分別為與.由圖5-2可見,這些矢徑有如下關(guān)系
圖5-2 不同基點轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系 (5.1-5)
由于兩基平行,該矢量式在基上的坐標(biāo)表達式為 (5.1-5')
其中為質(zhì)心C矢徑在基上的坐標(biāo)陣,為Pk的矢徑在基上的坐標(biāo)陣.將式(5.1-5')代入(5.1-2c),有
(5.1-6)
考慮到矢徑由質(zhì)心C出發(fā),由質(zhì)心的矢徑與質(zhì)點矢徑間的關(guān)系式(2.3-24),有
在連體基的坐標(biāo)式為
,
(5.1-7)
因此式(5.1-6)右邊的后兩項為零.根據(jù)定義,該式右邊第一項為剛體相對于Cz軸的轉(zhuǎn)動慣量JCz,即
(5.1-8)
右邊第二項中的為Oz軸與Cz軸的垂直距離,記為hz.這樣式(5.1-6)變?yōu)?br/>(5.1-9)
同理可得
(5.1-10)
式(5.1-9)與(5.1-10)描述的是剛體轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理：剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量等于它對過質(zhì)心的平行軸轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸垂直距離平方的乘積.
利用同樣的方法可得到剛體關(guān)于O慣性積與關(guān)于C慣性積間的關(guān)系式
(5.1-11a)
(5.1-11b)