定義
分段函數(shù);對于自變量x的不同的取值范圍,有著不同的對應(yīng)法則,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).它是一個函數(shù),而不是是幾個函數(shù):分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集,值域也是各段函數(shù)值域的并集.
編輯本段類型
1、分界點左右的數(shù)學表達式一樣,但單獨定義分界點處的函數(shù)值(例1） 2、分界點左右的數(shù)學表達式不一樣（例2）
編輯本段例子
例1 某商場舉辦有獎購物活動,每購100元商品得到一張獎券,每1000張獎券為一組,編號為1號至1000號,其中只有一張中特等獎,特等獎金額5000元,開獎時,中特等獎號碼為328號,那么,一張獎券所得特等獎金y元與號碼x號的函數(shù)關(guān)系表示為 0 ,x≠328 y={ 5000, x=328 例2 某商店賣西瓜,一個西瓜的重量若在4kg以下,則銷售價格為0.6元/kg；若在4kg 或4kg 以上,則銷售價格為0.8元/kg,那么,一個西瓜的銷售收入y元與重量xkg的函數(shù)關(guān)系表示為 0.6x 0,〈x〈4 y={ 0.8x, x≥4
編輯本段分段函數(shù)題型
由于課本沒有明確給出分段函數(shù)的定義,只以例題的形式出現(xiàn),不少學生對它認識膚淺模糊,以致學生解題常常出錯.本段介紹分段函數(shù)的若干種題型及其解法,以供大家參考. 一、作圖題 例1作出函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|的圖像. 分析：根據(jù)北師大版32頁例題2知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|去絕對值符號后就變?yōu)榉侄魏瘮?shù) f(x)=|x+1|+|x-1| = 這個分段函數(shù)有三段,所以這個函數(shù)的圖像應(yīng)由三條線組成,其中兩邊各是一條射線,中間是一條線段.畫出圖像如圖1所示. 分段函數(shù)作圖題的一般解法:分段函數(shù)有幾段它的圖像就由幾條曲線組成,作圖的關(guān)鍵就是根據(jù)每段函數(shù)的定義區(qū)間和表達式在同一坐標系中作出其圖像,作圖時要注意每段曲線端點的虛實,而且橫坐標相同的地方不能有兩個以上的點. 二、求函數(shù)值 例2 已知函數(shù)f(x)= 求f(3)的值. 由3∈（－∞,6）,知f(3)=f(3+2)=f(5), 又5∈（－∞,6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7). 又由7∈〔6,＋∞）所以f(7)＝7－2＝5,因此,f(3)＝5. 求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后按該段的表達式去求值,直到求出值為止. 三、求函數(shù)值域 例3 求函數(shù)f(x)= 的值域. 當-2≤x≤a時,x2 的取值有三種情形： （1）當-2≤a＜0時,有a2≤x2≤4 ； (2)當0≤a≤2時,有0≤x2≤4 ； (3)當a＞2時,有0≤x2≤a2 當x＞a時,-|x|的取值有兩種情形： （1）當-2≤a＜0時,有-|x|≤0, （2）當a≥0時,有－|x|＜-a . 所以原函數(shù)的值域為： （1）當-2≤a＜0時,為(-∞,0]∪[a2,4] ； （2）當0≤a≤2時,為(-∞,-a)∪[0,4]； （3）當a＞2時,為(-∞,-a)∪[0,a2] 求分段函數(shù)的值域的方法：分別求出各段函數(shù)在其定義區(qū)間的值域,再取它們的并集即可. 四、函數(shù)的奇偶性 例4判斷下列函數(shù)的奇偶性 （1）f(x)= （2）f(x)= （1）∵當x＞0時,-x＜0, f(x)=ex ,f(-x)=-e-(-x) =-ex , 即有f(x)=-f(-x),同理,當x＜0時,也有f(x)=-f(-x) ∴函數(shù)f(x）是奇函數(shù). (2)∵當x=0時,f(0)=f(-0)=0 , 當x＞0時,-x＜0,f(x)=x(1-x) ,f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x) , 即有f(x)=f(-x),同理,當x＜0時,也有f(x)=f(-x). ∴函數(shù)f(x）是偶函數(shù). 判斷分段函數(shù)的奇偶性的方法：先看定義域是否關(guān)于原點對稱,不對稱就不是奇（偶）函數(shù),再由x＞0,-x＜0 ,分別代入各段函數(shù)式計算f(x)與f(-x)的值,若有f(x)=-f(-x),當x=0有定義時f(0)=0,則f(x)是奇函數(shù)；若有f(x)=f(-x),則f(x)是偶函數(shù). 五、函數(shù)的單調(diào)性 例5 討論函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性. 當x≥0時,f(x)=-x2+4x-10 ,它是開口向下,對稱軸為x=2的拋物線的一部分,因此f(x)在區(qū)間[0,2]上是增加的,在區(qū)間(2,+∞)上是減少的；當x＜0時,f(x)=-x2-4x-10 ,它是開口向下,對稱軸為x=-2的拋物線的一部分,因此f(x)在區(qū)間[-2,0）上是減少的,在區(qū)間(-∞,-2)上是增加的. 分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：分別判斷出各段函數(shù)在其定義區(qū)間的單調(diào)性即可. 六、求函數(shù)的最小正周期 求分段函數(shù)的最小正周期的方法有：定義法、公式法和作圖法. 例6 求函數(shù)f(x)= 的最小正周期. 定義法：當x=2kπ或2kπ+π時,sin(2kπ+π)=sin2kπ=0 當2kπ-π＜x＜2kπ時,2kπ＜x+π＜2kπ+π,k∈z f(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx , 即有f(x+π)=f(x) ,同理可證：當2kπ＜x＜2kπ+π （k∈z）時, 有f(x+π)=f(x) ,所以f(x) 的最小正周期是π. 公式法：∵（2kπ-π,2kπ）∪[2kπ,2kπ+π]=R , （k∈z） x∈（2kπ-π,2kπ）,sinx ＜0 ,x∈[2kπ,2kπ+π],sinx ≥0 . ∴f(x)=|sinx|= = 所以f(x) 的最小正周期T= =π 作圖法:作出函數(shù)f(x)的圖像如圖2 所示. 由圖2知f(x) 的最小正周期是π. 圖2 七、求函數(shù)的最大（?。┲?求函數(shù)的最大（小）值的方法有： 數(shù)形結(jié)合法、分析綜合法. 例7 求函數(shù)f(x)= 的最大和最小值. ∵函數(shù)f(x)=log2 x 在[1,8]是增加的,最大值是f(8)=3, 最小值是f(1)=0.又∵函數(shù)f(x)=x+2 在[-8,1)是增加的,最小值是f(-8)=-6且f(x)＜3. ∴綜上,得函數(shù)f(x) 的最大值是3 ,最小值是-6. 八、求某條件下自變量的范圍. 例8 函數(shù)f(x)= 若f(x0)＜-3則x0取值范圍是______. （1）當x0≤-2時,f(x)=x0＜-3 , 此時不等式的解集是 （-∞,-3） ； （2）當-2＜x0＜4時,f(x0)=x＜-3 ,此時不等式的解集是 ； （3）當x0≥4時,f(x0)=3x0 ＜-3 , 此時不等式的解集是 . 所以則x0的取值范圍是（-∞,-3）. 求某條件下自變量的范圍的方法：先假設(shè)所求的解在分段函數(shù)定義域的各段上,然后相應(yīng)求出在各段定義域上的范圍,再求它們并集即可. 九、求自變量的值 例9 已知函數(shù)f(x)= ,若f(a)=2 ,則實數(shù)a的值是______. （1）當a≤-3時,f(a)=3a =2 ,3a ≤3= ,此時方程無解； （2）當-3＜a＜4時,f(a)= a+4 =2 ,解得 a=-2 （3）當a≥4時,f(a)= =2 ,解得 a=4 , ∴實數(shù)a的值是a=-2 或a=4 . 求某條件下自變量的值的方法：先假設(shè)所求的解在分段函數(shù)定義域的各段上,然后相應(yīng)求出在各段定義域上的解,再求它們的并集即可. 十、求函數(shù)的表達式 例10 求二次函數(shù)f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2在[0,1]上的最小值g(a)的解析式. 二次函數(shù)f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2=[x-(2a-1)]2+a2+1 圖像開口向上,對稱軸是x=2a-1 . (1)若2a-1＜0即a＜ 時,如圖10-1所示 二次函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值是 g(a)=f(0)=5a2-4a+2 ； （2）若0≤2a-1＜1即 ≤a＜1時,如圖10-2所示 二次函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值是 g(a)=f(2a-1)=a2+1； （3）若2a-1≥1即a≥1時,如圖10-3所示 二次函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值是 g(a)=f(1)=1-2(2a-1)+5a2-4a+2 =5a2-8a+5 . 綜上所述,二次函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值是 g(a)= 求分段函數(shù)的表達式的常用方法有：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法和公式法等.本題采用數(shù)形結(jié)合法.