因?yàn)閄1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,所以
D(∑（i從1到n）aiXi) = ∑（i從1到n）D(aiXi) = ∑（i從1到n）ai^2 D(Xi) = ∑（i從1到n）ai^2 δi^2
設(shè) L(a1,...,an,λ) = ∑（i從1到n）（aiδi)^2+λ（∑（i從1到n）ai-1),
當(dāng)給定 a1,...,a(i-1),a(i+1),...,an,λ時,L是ai的二次函數(shù),且開口向上.
于是在最小值處,有：
下面用 dL/dai 表示偏導(dǎo)數(shù).
dL/dai = 2ai δi^2 + λ = 0 ,i = 1,...,n
==> -λ/2 = a1 δ1^2 = a1/(1/ δ1^2) = .= an/(1/ δn^2)
= (a1 + .+an)/((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))
= 1/ ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))
==>
ai = -λ / (2δi^2) = 1/δi^2 * (-λ/2)= 1/δi^2 / ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2)) ,i = 1,2,...,n
當(dāng) ai ,i=1,...,n,為上值時,方差最小.