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  • 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,4).,以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過C點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā).沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).速度均為每秒

    如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,4).,以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過C點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā).沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E
    1)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)t為何值時(shí),在矩形ABCD內(nèi)存在點(diǎn)H,使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值.
    數(shù)學(xué)人氣:204 ℃時(shí)間:2019-08-20 10:07:40
    優(yōu)質(zhì)解答
    (1)A(1,4)
    由題意知,可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+4
    ∵拋物線過點(diǎn)C(3,0),
    ∴0=a(3-1)2+4,
    解得,a=-1,
    ∴拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3
    (2)∵A(1,4),C(3,0),
    ∴可求直線AC的解析式為y=-2x+6.
    ∵點(diǎn)P(1,4-t).…(3分)
    ∴將y=4-t代入y=-2x+6中,解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=1+t\2
    ∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1+t\2,代入拋物線的解析式中,可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4-t²\4
    ∴GE=(4-t²\4)-(4-t)=t-t²\4
    又點(diǎn)A到GE的距離為t\2,C到GE的距離為2-t\2
    即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG(2-t\2)=1\2•2(t-t²\4)=-1\4(t-2)2+1
    當(dāng)t=2時(shí),S△ACG的最大值為1
    (3)第一種情況如圖1所示,點(diǎn)H在AC的上方,由菱形CQHE知CQ=CE=t,
    根據(jù)△APE∽△ABC,知
    AP\AB=AE\AC即t\4=2根號(hào)5-t\2根號(hào)5,解得,t=20-8根號(hào)5
    第二種情況如圖2所示,點(diǎn)H在AC的下方,由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t,PE=1\2t
    ,EM=2-1\2t,MQ=4-2t.
    則在直角三角形EMQ中,根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2-1\2t)2+(4-2t)2=t2
    解得,t1=20\13,t2=4(不合題意,舍去).
    綜上所述,t=20-8根號(hào)5或t=20\13
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