一個(gè)函數(shù)N階可導(dǎo),則這個(gè)函數(shù)就可以用泰勒公式N階展開
即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X
f＾(n)(x0)表示f(x)在x0處的N階導(dǎo)數(shù).0X表示比(x-x0)＾(n)更高階的無(wú)窮小
用拉格朗日型余項(xiàng)表示則0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!
而麥克勞林公式是泰勒公式在0點(diǎn)展開的特例
泰勒公式可以很容易的讓你得到f(x)展開式中關(guān)于x的冪次項(xiàng)的系數(shù),也可由已知的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值推出原函數(shù).多用于求極限問(wèn)題
比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趨近于0時(shí)的極限
f(x)=e＾x在x=0處二次展開=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x
=1+x+x/2;
那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2答案補(bǔ)充 用導(dǎo)數(shù)定義去理解
f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0
那么就有當(dāng)x->x0時(shí)lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)
lim f(x)其于f(x)的誤差拉格朗日型余項(xiàng)為f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高階無(wú)窮小,一般用于證明題