答案：An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
一會(huì)兒回來(lái)提供三種證明思路
思路一：數(shù)學(xué)歸納法.這個(gè)沒(méi)什么可說(shuō).
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n,令 An=n!bn,代入,得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n,b1=0,b2=1/2.
所以,bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!,An=n!bn等于上式.
思路三：這個(gè)公式是錯(cuò)置排列的公式.所謂錯(cuò)置排列,有一個(gè)通俗的說(shuō)法.n 個(gè)人,每人有一頂自己的帽子.An 是他們每個(gè)人都戴錯(cuò)帽子的戴法數(shù)目.顯然 A1=0 （一個(gè)人不可能戴錯(cuò)),A2=1.對(duì)n>2的情況,第 n 個(gè)人的帽子必然戴到 某個(gè)第 i 人頭上,i=1,2,...,n-1,這有兩種情況 1）第i個(gè)人的帽子戴到第n個(gè)人頭上,則其余 n-2 個(gè)人要互相戴錯(cuò),共有 A（n-2)種戴法；
2）另外一個(gè)人的帽子戴到第n個(gè)人頭上,此時(shí)共有 A(n-1)種戴法.總之,我們有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)),n>2.而我們可以用容斥原理算出錯(cuò)置排列的數(shù)目如上,所以必然有An等于上面的數(shù).