剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量.其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2,
式中mi表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離.
；求和號(hào)（或積分號(hào)）遍及整個(gè)剛體.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置,而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)（如角速度的大?。o關(guān).規(guī)則形狀的均質(zhì)剛體,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)得.不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一般用實(shí)驗(yàn)法測(cè)定.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中.
描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系,有如下的平行軸定理：剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于該剛體對(duì)同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積.由于和式的第二項(xiàng)恒大于零,因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的最小者.
還有垂直軸定理：垂直軸定理
一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和.
表達(dá)式:Iz=Ix+Iy
剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離 ,稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ,其公式為_____,式中M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為L(zhǎng)^2M,在SI單位制中,它的單位是kg·m^2.
剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性由更普遍的慣量張量描述.慣量張量是二階對(duì)稱張量,它完整地刻畫出剛體繞通過該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小.
補(bǔ)充對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義：
先說轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來,先從動(dòng)能說起大家都知道動(dòng)能E=(1/2)mv^2,而且動(dòng)能的實(shí)際物理意義是：物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)（選定一個(gè)參考系）運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量,（P勢(shì)能實(shí)際意義則是物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量的大?。?
E=(1/2)mv^2 （v^2為v的2次方）
把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑,在這里對(duì)任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)整體的重心的距離為r,而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r)
得到E=(1/2)m(wr)^2
由于某一個(gè)對(duì)象物體在運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的,所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替,
K=mr^2
得到E=(1/2)Kw^2
K就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,分析實(shí)際情況中的作用相當(dāng)于牛頓運(yùn)動(dòng)平動(dòng)分析中的質(zhì)量的作用,都是一般不輕易變的量.
這樣分析一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)問題就可以用能量的角度分析了,而不必拘泥于只從純運(yùn)動(dòng)角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問題.
為什么變換一下公式就可以從能量角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問題呢?
1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)能量
2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析轉(zhuǎn)動(dòng)物體的問題,是因?yàn)槠渲胁话D(zhuǎn)動(dòng)物體的任何轉(zhuǎn)動(dòng)信息.
3、E=(1/2)mv^2除了不包含轉(zhuǎn)動(dòng)信息,而且還不包含體現(xiàn)局部運(yùn)動(dòng)的信息,因?yàn)槔锩娴乃俣葀只代表那個(gè)物體的質(zhì)
心運(yùn)動(dòng)情況.
4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析,是因?yàn)榘艘粋€(gè)物體的所有轉(zhuǎn)動(dòng)信息,因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量K=mr^2本身就是一種積
分得到的數(shù),更細(xì)一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動(dòng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)不變的信息的等效結(jié)果K=∑ mr^2 （這里的K和上樓的J一樣）
所以,就是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,從能量的角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問題,就有了價(jià)值.
若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的,則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式可寫成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV
其中dV表示dm的體積元,σ表示該處的密度,r表示該體積元到轉(zhuǎn)軸的距離.
補(bǔ)充轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量一樣,是回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性,用字母J表示.
對(duì)于桿：
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的中點(diǎn)并垂直于軸時(shí)；J=mL^2/12
其中m是桿的質(zhì)量,L是桿的長(zhǎng)度.
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的端點(diǎn)并垂直于軸時(shí)：J=mL^2/3
其中m是桿的質(zhì)量,L是桿的長(zhǎng)度.
對(duì)與圓柱體：
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時(shí)；J=mr^2/2
其中m是圓柱體的質(zhì)量,r是圓柱體的半徑.
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定理：M=Jβ
其中M是扭轉(zhuǎn)力矩
J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
β是角加速度
例題：
現(xiàn)在已知：一個(gè)直徑是80的軸,長(zhǎng)度為500,材料是鋼材.計(jì)算一下,當(dāng)在0.1秒內(nèi)使它達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的速度時(shí)所需要的力矩?
分析：知道軸的直徑和長(zhǎng)度,以及材料,我們可以查到鋼材的密度,進(jìn)而計(jì)算出這個(gè)軸的質(zhì)量m,由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.
根據(jù)在0.1秒達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的角速度,我們可以算出軸的角加速度β=△ω/△t=500轉(zhuǎn)/分/0.1s
電機(jī)軸我們可以認(rèn)為是圓柱體過軸線,所以J=mr^2/2.
所以M=Jβ
=mr^2/2△ω/△t
=ρπr^2hr^2/2△ω/△t
=7.8*10^3 *3.14* 0.04^2 * 0.5 * 0.04^2 /2 * 500/60/0.1
=1.2786133332821888kg/m^2
單位J=kgm^2/s^2=N*m