利用“歐拉公式”（可以查閱相關(guān)書籍）：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C,C為歐拉常數(shù) 數(shù)值是0.5772…….
則1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+C=8.1821（約）
就不出具體數(shù)字的,如果n=100 那還可以求的 .然而這個(gè)n趨近于無(wú)窮 ,所以算不出的.
它是實(shí)數(shù),所以它不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù),而上兩層的人說(shuō)“談不上到底是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)”的說(shuō)法顯然是錯(cuò)誤的.而根據(jù)種種依據(jù)可判斷它是無(wú)理數(shù).
具體證明過(guò)程如下：
首先我們可以知道實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù).而有理數(shù)又包括有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù),有理數(shù)都可以劃成兩個(gè)有限互質(zhì)整數(shù)相除的形式（整數(shù)除外）.而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無(wú)限大)通分以后的分子和分母都是無(wú)窮大,不是有限整數(shù),且不能約分,所以它不屬于有理數(shù),因此它是無(wú)理數(shù).
其實(shí)無(wú)窮個(gè)有理數(shù)相加未必就是有理數(shù),而有可能等于無(wú)理數(shù).我可以舉個(gè)很簡(jiǎn)單的例子.
圓周率pi=3.1415926...是個(gè)無(wú)理數(shù)大家都知道吧,我可以把它分解成pi=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...的形式,等號(hào)右側(cè)的每一項(xiàng)都是有理數(shù),那么我們能說(shuō)pi是有理數(shù)嗎?當(dāng)然不能.所以無(wú)窮個(gè)有理數(shù)相加可能是無(wú)理數(shù).
那么為什么我說(shuō)1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無(wú)限大)是無(wú)理數(shù)而不是有理數(shù)呢?我再?gòu)囊环N角度給你證明.
1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無(wú)限大)是一個(gè)無(wú)窮小數(shù)你承認(rèn)吧,不然我們討論有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)就沒(méi)什么意義了.無(wú)限循環(huán)小數(shù)都有循環(huán)節(jié),所以無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以根據(jù)等比數(shù)列知識(shí)劃成兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)相除的形式.
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無(wú)限大)不存在循環(huán)節(jié),不可能根據(jù)等比數(shù)列知識(shí)劃成兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)相除的形式.所以它終究是無(wú)理數(shù).
這是有名的調(diào)和級(jí)數(shù),應(yīng)該是高數(shù)中的東西,這題目用n!無(wú)濟(jì)于事的
當(dāng)n->∞,1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞,是個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)
當(dāng)n很大時(shí),有個(gè)近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ是歐拉常數(shù),γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然對(duì)數(shù)（即以e為底的對(duì)數(shù),e=2.71828...）