哥德巴赫猜想
是不是所有的大于2的偶數(shù),都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和?
（注意,本文下部如有所謂“中國(guó)最新進(jìn)展,已經(jīng)證明1+1”的,屬于無(wú)聊人士添加的惡意偽科學(xué)范疇,讀者不必理會(huì).“還有待解決.”為最后一句.）
這個(gè)問(wèn)題是德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（C．Goldbach,1690-1764）于1742年6月7日在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的,所以被稱作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture).同年6月30日,歐拉在回信中認(rèn)為這個(gè)猜想可能是真的,但他無(wú)法證明.現(xiàn)在,哥德巴赫猜想的一般提法是：每個(gè)大于等于6的偶數(shù),都可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；每個(gè)大于等于9的奇數(shù),都可表示為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和.其實(shí),后一個(gè)命題就是前一個(gè)命題的推論.
哥德巴赫猜想貌似簡(jiǎn)單,要證明它卻著實(shí)不易,成為數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的難題.18、19世紀(jì),所有的數(shù)論專家對(duì)這個(gè)猜想的證明都沒(méi)有作出實(shí)質(zhì)性的推進(jìn),直到20世紀(jì)才有所突破.1937年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983）,用他創(chuàng)造的"三角和"方法,證明了"任何大奇數(shù)都可表示為三個(gè)素?cái)?shù)之和".不過(guò),維諾格拉多夫的所謂大奇數(shù)要求大得出奇,與哥德巴赫猜想的要求仍相距甚遠(yuǎn).
直接證明哥德巴赫猜想不行,人們采取了迂回戰(zhàn)術(shù),就是先考慮把偶數(shù)表為兩數(shù)之和,而每一個(gè)數(shù)又是若干素?cái)?shù)之積.如果把命題"每一個(gè)大偶數(shù)可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和"記作"a＋b",那么哥氏猜想就是要證明"1＋1"成立.從20世紀(jì)20年代起,外國(guó)和中國(guó)的一些數(shù)學(xué)家先后證明了"9+9""2十3""1＋5""l＋4"等命題.
1966年,我國(guó)年輕的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn),在經(jīng)過(guò)多年潛心研究之后,成功地證明了"1＋2",也就是"任何一個(gè)大偶數(shù)都可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)2個(gè)的數(shù)之和".這是迄今為止,這一研究領(lǐng)域最佳的成果,距摘取這顆"數(shù)學(xué)王冠上的明珠"僅一步之遙,在世界數(shù)學(xué)界引起了轟動(dòng)."1＋2" 也被譽(yù)為陳氏定理.
哥德巴赫的問(wèn)題可以推論出以下兩個(gè)命題,只要證明以下兩個(gè)命題,即證明了猜想:
(a) 任何一個(gè)>=6之偶數(shù),都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.
(b) 任何一個(gè)>=9之奇數(shù),都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.
這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬(wàn)數(shù)學(xué)家的注意.200年過(guò)去了,沒(méi)有人證明它.到了20世紀(jì)20年代,才有人開(kāi)始向它靠近.1920年,挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明,得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比6大的偶數(shù)都可以表示為（9+9）.這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學(xué)家們于是從（9十9）開(kāi)始,逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù),直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止,這樣就證明了“哥德巴赫猜想”.
目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1966年證明的,稱為陳氏定理(Chen's Theorem) .“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和,而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.” 通常都簡(jiǎn)稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為 “1 + 2 ”的形式.
在陳景潤(rùn)之前,關(guān)於偶數(shù)可表示為 s個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積 與t個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和(簡(jiǎn)稱“s + t ”問(wèn)題)之進(jìn)展情況如下:
1920年,挪威的布朗(Brun)證明了 “9 + 9 ”.
1924年,德國(guó)的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7 + 7 ”.
1932年,英國(guó)的埃斯特曼(Estermann)證明了 “6 + 6 ”.
1937年,意大利的蕾西(Ricei)先后證明了“5 + 7 ”,“4 + 9 ”,“3 + 15 ”和“2 + 366 ”.
1938年,蘇聯(lián)的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了“5 + 5 ”.
1940年,蘇聯(lián)的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了 “4 + 4 ”.
1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1 + c ”,其中c是一很大的自然數(shù).
1956年,中國(guó)的王元證明了 “3 + 4 ”.
1957年,中國(guó)的王元先后證明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”.
1962年,中國(guó)的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩(BapoaH)證明了 “1 + 5 ”,中國(guó)的王元證明了“1 + 4 ”.
1965年,蘇聯(lián)的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)證明了“1 + 3 ”.
1966年,中國(guó)的陳景潤(rùn)證明了 “1 + 2 ”.
而1+1,這個(gè)哥德巴赫猜想中的最難問(wèn)題,還有待解決.