歐拉的數(shù)學(xué)生涯開始于牛頓(Newton)去世的那一年.對于歐拉這樣一個(gè)天才人物,不可能選擇到一個(gè)更有利的時(shí)代了.解析幾何(1637年問世)已經(jīng)應(yīng)用了90年,微積分大約50年,牛頓(Newton)萬有引力定律這把物理天文學(xué)的鑰匙,擺到數(shù)學(xué)界人們面前已40年.在這每一個(gè)領(lǐng)域之中,都已解決了大量孤立的問題,同時(shí)在各處做了進(jìn)行統(tǒng)一的明顯嘗試.但是還沒有像后來做的那樣,對整個(gè)數(shù)學(xué),純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué),進(jìn)行任何有系統(tǒng)的研究.特別是笛卡兒(Descrates)、牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz)強(qiáng)有力的分析方法還沒有像后來那樣被充分運(yùn)用,尤其在力學(xué)和幾何學(xué)中更是如此.
那時(shí)代數(shù)學(xué)和三角學(xué)已在一個(gè)較低的水平上系統(tǒng)化并擴(kuò)展了.特別是后者已經(jīng)基本完善.在費(fèi)馬(Fermat)的丟番圖分析和一般整數(shù)性質(zhì)的領(lǐng)域里則不可能有任何這樣的"暫時(shí)的完善"(甚至到現(xiàn)在也還沒有).但就在這方面,歐拉也證明了他確是個(gè)大師.事實(shí)上,歐拉多方面才華的最顯著特點(diǎn)之一,就是在數(shù)學(xué)的兩大分支－－連續(xù)的和離散的數(shù)學(xué)中都具有同等的能力.
作為一個(gè)算法學(xué)家,歐拉從沒有被任何人超越過.也許除了雅可比之外,也沒有任何人接近過他的水平.算法學(xué)家是為解決各種專門問題設(shè)計(jì)算法的數(shù)學(xué)家.舉個(gè)很簡單的例子,我們可以假定(或證明)任何正實(shí)數(shù)都有實(shí)數(shù)平方根.但怎樣才能算出這個(gè)根呢?已知的方法有很多,算法學(xué)家則要設(shè)計(jì)出切實(shí)可行的具體步驟來.再比如,在丟番圖分析中,還有積分學(xué)里,當(dāng)一個(gè)或多個(gè)變量被其他變量的函數(shù)進(jìn)行巧妙的(常常是簡單的)變換之前,問題往往不可能解決.算法學(xué)家就是自然地發(fā)現(xiàn)這種竅門的數(shù)學(xué)家.他們沒有任何同一的程序可循,算法學(xué)家就像隨口會(huì)作打油詩的人－－是天生的,而不是造就的.
目前時(shí)尚輕視"小小算法學(xué)家".然而,當(dāng)一個(gè)真正偉大的算法學(xué)家像印度的羅摩奴闊一樣不知從什么地方意外來臨的時(shí)候,就是有經(jīng)驗(yàn)的分析學(xué)者也會(huì)歡呼他是來自天國的恩賜：他那簡直神奇的對表面無關(guān)公式的洞察力,會(huì)揭示出隱藏著的由一個(gè)領(lǐng)域?qū)蛄硪粋€(gè)領(lǐng)域的線索.從而使分析學(xué)者得到為他們提供的弄清這些線索的新題目.算法學(xué)家是"公式主義者",他們?yōu)榱斯奖旧淼木壒识矚g美觀的形式.