給一種試根法因式分解,對高次有理系數(shù)整式因式分解有效
可解決大學(xué)以下有理范圍內(nèi)因式分解問題
前提復(fù)雜些,請結(jié)合例題分析
設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式 anx^n+a(n-1)x^(n-1)+……+a1x+a0=f(x)
(1)若x=a是方程f(x)=0的一個根,則f(x)必有因式(x-a)
(2)f(x)=0的所有有理根只能為x=±(a0的約數(shù))/(an的約數(shù)）
以上題為例：使x^3-7x^2+12x-10=0 的x的有理數(shù)值只可能是=±(10的約數(shù))/(1的約數(shù)）,而10的約數(shù)為1,2,5,10
只需試=±（1,2,5,10）
只要試出一個根即可,而易知x=5時,x^3-7x^2+12x-10=0
所以x^3-7x^2+12x-10有因式(x-5)
所以x^3-7x^2+12x-10=(x^3-5x^2)-(2x^2-10x)+(2x-10)
(注：括號內(nèi)為了產(chǎn)生x-5,前一括號的末項(xiàng)和后一括號的首項(xiàng)為了配齊原式）
=x^2(x-5)-2x(x-5)+2(x-5)=(x-5)(x^2-2x+2),剩下的只是一個二次式的因式分解,并不困難,令x^2-2x+2=0,由求根公式知x1=1+i,x2=1-i,
即x^2-2x+2=(x-1-i)(x-1+i)
所以原式可分為(x-5)(x-1-i)(x-1+i)
可知a,b,c=5,1+i,1-i
說明：1、如果次數(shù)過高,要多試出幾個根,降到2次為止
2、如2x^3-6x+4,可試出x=1是一對重根,x=-2是一個根
所以可直接分為2(x-1)^2(x+2)