在這個句子中,they是主語,did是謂語,everything是賓語,they could是定語從句,定的是everything ,就是他們能做的任何事,to save the worker's life是動詞不定式做目的狀語.
首先動詞不定式可以做除了謂語的一切成分,其次你的判斷失誤應該是因為句子的成分沒有劃分好.我們看你認為是賓語的原因所在：你定然是認為to do 是could的賓語對么,但有一點需要注意的是could后面應該加動詞原型的,從此我們可以看出,they could 這個從句已然結束,to do不定式應該是主句中的成分.那么我們不看從句單看主句,就是They did everything to save the worker's life.這樣一來是不是明確了很多呢,主謂賓在一開始就很明確地給了出來,后面的to do 就是他們做的目的了,所以to do 不定式做的是目的壯語.
問題補充：i am very pleased to have made friends with you.
這個句子呢,是一個主系表結構,系動詞及感官動詞后面的不定式通常為說明原因的原因壯語,使說明主語此時處于這種狀態(tài)（系動詞）,或感受到這種感覺（感官動詞）的原因,所以是原因壯語從句.
如果以后還遇到這種從句的話,可以試試劃分主干法來分析,就是把從句等等附屬的東西蓋住不看,等主干弄明白了,在一個個拿出來看是誰的附屬成分,這樣就不怕長長的而又麻煩的句子了.