由內積空間及其上線性變換理論知,正交陣【實內積空間上的自伴算子】正交相似于準對角陣,對角位置除了1,還有一些2×2的矩陣.A的特征值是模為1的復數(shù),因A的行列式的值1,所以A的非實數(shù)特征值和-1都是成對出現(xiàn)的.A的兩個共軛特征值對應的那個2×2的矩陣塊的幾何意義是平面上的旋轉,它可以表示成一個2×2的正交陣的平方【轉一半角的旋轉矩陣】,兩個-1構成的2×2的矩陣塊幾何意義是平面上關于原點的對稱,它相當于逆時針旋轉90°兩次,所以[-1,0;-1,0]=[0,-1;1,0]^2,也把它表示成了2×2的正交陣的平方,這樣如果設準對角陣為D,那么D=K^2 K為正交陣.
因為存在正交陣C使得,A=C‘DC=C’K^2C=C'KCC'KC 可令B=C'KC 則B為正交陣,且A=B^2