已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CF/CB＝CG/CD＝2/3．求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)．

已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且

＝

．
求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)．

數(shù)學(xué)人氣：869 ℃時(shí)間：2020-01-29 13:31:43

優(yōu)質(zhì)解答

證明：（1）在△ABD和△CBD中，
∵E、H分別是AB和AD的中點(diǎn)，∴EH

∥

BD
又∵

＝

，∴FG

∥

BD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，
所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P
∵AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)

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已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CF/CB＝CG/CD＝2/3． 求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)．

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