由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)七例
對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解,通常可以通過遞推公式的變換,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題,有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列.
類型1遞推公式為
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ,利用累加法求解.
例1.已知數(shù)列 滿足 ,求 .
由條件知：
分別令 ,代入上式得 個(gè)等式累加之,即

所以
又因?yàn)?
所以
類型2遞推公式為
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ,利用累乘法求解.
例2.已知數(shù)列 滿足 ,求 .
由條件知 ,分別令 ,代入上式得 個(gè)等式累乘之,即

所以
又因?yàn)?,所以 .
類型3遞推公式為 （其中p,q均為常數(shù), ）.
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：
其中 ,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.
例3.已知數(shù)列 中, ,求 .
設(shè)遞推公式
可以轉(zhuǎn)化為
即 ,所以
故遞推公式為
令 ,則
,且
所以 是以 為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則

所以
類型4遞推公式為 （其中p,q均為常數(shù), ）.
解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些.一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以 ,得：

引入輔助數(shù)列 （其中 ）,得：
再應(yīng)用類型3的方法解決.
例4.已知數(shù)列 中, ,求 .
在 兩邊乘以 得：

令 ,則
應(yīng)用例3解法得：
所以
類型5遞推公式為 （其中p,q均為常數(shù)）.
解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為
其中s,t滿足 ,再應(yīng)用前面類型的方法求解.
例5.已知數(shù)列 中, ,求 .
由 可轉(zhuǎn)化為
即
所以 解得： 或
這里不妨選用 （當(dāng)然也可選用 ,大家可以試一試）,則

所以 是以首項(xiàng)為 ,公比為 的等比數(shù)列
所以
應(yīng)用類型1的方法,令 ,代入上式得 個(gè)等式累加之,即

又因?yàn)?,所以 .
類型6遞推公式為 與 的關(guān)系式.
解法：利用 進(jìn)行求解.
例6.已知數(shù)列 前n項(xiàng)和 .
（1）求 與 的關(guān)系；
（2）求通項(xiàng)公式 .
（1）由 得：

于是
所以
即
（2）應(yīng)用類型4的方法,上式兩邊同乘以 得：

由 ,得：

于是數(shù)列 是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以

故
類型7雙數(shù)列型
解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系,靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解.
例7.已知數(shù)列 中, ；數(shù)列 中, .當(dāng) 時(shí), ,求 .
因

所以

即
又因?yàn)?

所以

即
由、得：