算籌
根據(jù)史書的記載和考古材料的發(fā)現(xiàn),古代的算籌實(shí)際上是一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子,一般長為13--14cm,徑粗0．2～0．3cm,多用竹子制成,也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的,大約二百七十幾枚為一束,放在一個(gè)布袋里,系在腰部隨身攜帶.需要記數(shù)和計(jì)算的時(shí)候,就把它們?nèi)〕鰜?放在桌上、炕上或地上都能擺弄.別看這些都是一根根不起眼的小棍子,在中國數(shù)學(xué)史上它們卻是立有大功的.而它們的發(fā)明,也同樣經(jīng)歷了一個(gè)漫長的歷史發(fā)展過程.
在算籌計(jì)數(shù)法中,以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的,其中1-5均分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來表示,6-9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌來表示.表示多位數(shù)時(shí),個(gè)位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類推,遇零則置空.這種計(jì)數(shù)法遵循十進(jìn)位制.
算籌的出現(xiàn)年代已經(jīng)不可考,但據(jù)史料推測,算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年（公元前722年～公元前221年）,一直到算盤發(fā)明推廣之前都是中國最重要的計(jì)算工具.
算籌的發(fā)明就是在以上這些記數(shù)方法的歷史發(fā)展中逐漸產(chǎn)生的.它最早出現(xiàn)在何時(shí),現(xiàn)在已經(jīng)不可查考了,但至遲到春秋戰(zhàn)國；算籌的使用已經(jīng)非常普遍了.前面說過,算籌是一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子,那么怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數(shù)目呢?
那么為什么又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢?這就是因?yàn)槭M(jìn)位制的需要了.所謂十進(jìn)位制,又稱十進(jìn)位值制,包含有兩方面的含義.其一是"十進(jìn)制",即每滿十?dāng)?shù)進(jìn)一個(gè)單位,十個(gè)一進(jìn)為十,十個(gè)十進(jìn)為百,十個(gè)百進(jìn)為千……其二是"位值制,即每個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)值,不僅取決于這個(gè)數(shù)碼本身,而且取決于它在記數(shù)中所處的位置.如同樣是一個(gè)數(shù)碼"2",放在個(gè)位上表示2,放在十位上就表示20,放在百位上就表示200,放在千位上就表示2000……在我國商代的文字記數(shù)系統(tǒng)中,就已經(jīng)有了十進(jìn)位值制的蔭芽,到了算籌記數(shù)和運(yùn)算時(shí),就更是標(biāo)準(zhǔn)的十進(jìn)位值制了.
按照中國古代的籌算規(guī)則,算籌記數(shù)的表示方法為：個(gè)位用縱式,十位用橫式,百位再用縱式,千位再用橫式,萬位再用縱式……這樣從右到左,縱橫相間,以此類推,就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了.由于它位與位之間的縱橫變換,且每一位都有固定的擺法,所以既不會(huì)混淆,也不會(huì)錯(cuò)位.毫無疑問,這樣一種算籌記數(shù)法和現(xiàn)代通行的十進(jìn)位制記數(shù)法是完全一致的.
中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.把它與世界其他古老民族的記數(shù)法作一比較,其優(yōu)越性是顯而易見的.古羅馬的數(shù)字系統(tǒng)沒有位值制,只有七個(gè)基本符號(hào),如要記稍大一點(diǎn)的數(shù)目就相當(dāng)繁難.古美洲瑪雅人雖然懂得位值制,但用的是20進(jìn)位；古巴比倫人也知道位值制,但用的是60進(jìn)位.20進(jìn)位至少需要19個(gè)數(shù)碼,60進(jìn)位則需要59個(gè)數(shù)碼,這就使記數(shù)和運(yùn)算變得十分繁復(fù),遠(yuǎn)不如只用9個(gè)數(shù)碼便可表示任意自然數(shù)的十進(jìn)位制來得簡捷方便.中國古代數(shù)學(xué)之所以在計(jì)算方面取得許多卓越的成就,在一定程度上應(yīng)該歸功于這一符合十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法.馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》一書中稱十進(jìn)位記數(shù)法為"最妙的發(fā)明之一",確實(shí)是一點(diǎn)也不過分的.
二進(jìn)制思想的開創(chuàng)國
著名的哲學(xué)家數(shù)學(xué)家萊布尼茨(1646-1716)發(fā)明了對(duì)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有著重要意義的二進(jìn)制,不過他認(rèn)為在此之前,中國的《易經(jīng)》中已經(jīng)提到了有關(guān)二進(jìn)制的初步思想.當(dāng)代的許多科學(xué)家認(rèn)為易經(jīng)中并不含有復(fù)雜的二進(jìn)制思想,可是這本中國古籍中的一些基本思想和二進(jìn)制在很大程度上仍然有著千絲萬縷的聯(lián)系.
元始的《靈寶經(jīng)》里面把陰陽定義為陽是自冬至到夏至的上升的氣,陰為從夏至到冬至下降的氣,這是對(duì)地球周期運(yùn)動(dòng)的最簡練認(rèn)識(shí).陰陽是一種物質(zhì)認(rèn)識(shí),后來轉(zhuǎn)化為思想方式,反者道之動(dòng)等等,都是這種思想的表現(xiàn).從而開創(chuàng)了對(duì)立統(tǒng)一的思想方式,實(shí)際上計(jì)算機(jī)的電子脈沖的思想是與之一致的,采樣定律也是與之一致的.
《易經(jīng)》是我國伏羲、周文王等當(dāng)政者積累觀天測算經(jīng)驗(yàn)而成的關(guān)于天象氣象和人變易的經(jīng)典,從八卦到六十四卦,就是二進(jìn)制三位到六位表達(dá),上世紀(jì)八十年代還有四位計(jì)算機(jī),可以說,周文王的六十四卦在表達(dá)能力上已經(jīng)高于四位計(jì)算機(jī).
十進(jìn)制的使用
《卜辭》中記載說,商代的人們已經(jīng)學(xué)會(huì)用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這13個(gè)單字記十萬以內(nèi)的任何數(shù)字,但是現(xiàn)在能夠證實(shí)的當(dāng)時(shí)最大的數(shù)字是三萬.甲骨卜辭中還有奇數(shù)、偶數(shù)和倍數(shù)的概念.
十進(jìn)位位值制記數(shù)法包括十進(jìn)位和位值制兩條原則,"十進(jìn)"即滿十進(jìn)一；"位值"則是同一個(gè)數(shù)位在不同的位置上所表示的數(shù)值也就不同,如三位數(shù)"111",右邊的"1"在個(gè)位上表示1個(gè)一,中間的"1"在十位上就表示1個(gè)十,左邊的"1"在百位上則表示1個(gè)百.這樣,就使極為困難的整數(shù)表示和演算變得如此簡便易行,以至于人們往往忽略它對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所起的關(guān)鍵作用.
我們有個(gè)成語叫"屈指可數(shù)",說明古代人數(shù)數(shù)確實(shí)是離不開手指的,而一般人的手指恰好有十個(gè).因此十進(jìn)制的使用似乎應(yīng)該是極其自然的事.但實(shí)際情況并不盡然.在文明古國巴比倫使用的是60進(jìn)位制（這一進(jìn)位制到現(xiàn)在仍留有痕跡,如一分＝60秒等）另外還有采用二十進(jìn)位制的.古代埃及倒是很早就用10進(jìn)位制,但他們卻不知道位值制.所謂位值制就是一個(gè)數(shù)碼表示什么數(shù),要看它所在的位置而定.位值制是千百年來人類智慧的結(jié)晶.零是位值制記數(shù)法的精要所在.但它的出現(xiàn)卻并非易事.我國是最早使用十進(jìn)制記數(shù)法,且認(rèn)識(shí)到進(jìn)位制的國家.我們的口語或文字表達(dá)的數(shù)字也遵守這一原則,比如一百二十七.同時(shí)我們對(duì)0的認(rèn)識(shí)最早.
十進(jìn)制是中國人民的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造,在世界數(shù)學(xué)史上有重要意義.著名的英國科學(xué)史學(xué)家李約瑟教授曾對(duì)中國商代記數(shù)法予以很高的評(píng)價(jià),"如果沒有這種十進(jìn)制,就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了",李約瑟說"總的說來,商代的數(shù)字系統(tǒng)比同一時(shí)代的古巴比倫和古埃及更為先進(jìn)更為科學(xué)."
分?jǐn)?shù)和小數(shù)的最早運(yùn)用
分?jǐn)?shù)的應(yīng)用
最初分?jǐn)?shù)的出現(xiàn),并非由除法而來.分?jǐn)?shù)被看作一個(gè)整體的一部分."分"在漢語中有"分開""分割"之意.后來運(yùn)算過程中也出現(xiàn)了分?jǐn)?shù),它表示兩整數(shù)比.分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算我們小學(xué)就已完全掌握了.很簡單,是不是?不過在七、八百年以前的歐洲,如果你有這種水平那么就可以說相當(dāng)了不起了.那時(shí)精通自然數(shù)的四則運(yùn)算就已達(dá)到了學(xué)者水平.至于分?jǐn)?shù),對(duì)當(dāng)時(shí)人來說簡直難于上青天.德國有句諺語形容一個(gè)人陷入絕境,就說："掉到分?jǐn)?shù)里去了".為什么會(huì)如此呢?這都是笨拙的記數(shù)法導(dǎo)致的.在我國古代,《九章算術(shù)》中就有了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法,這比歐洲大約早1400年.
西漢時(shí)期,張蒼、耿壽昌等學(xué)者整理、刪補(bǔ)自秦代以來的數(shù)學(xué)知識(shí),編成了《九章算術(shù)》.在這本數(shù)學(xué)經(jīng)典的《方田》章中,提出了完整的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則.
從后來劉徽所作的《九章算術(shù)注》可以知道,在《九章算術(shù)》中,講到約分、合分（分?jǐn)?shù)加法）、減分（分?jǐn)?shù)減法）、乘分（分?jǐn)?shù)乘法）、除分（分?jǐn)?shù)除法）的法則,與我們現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則完全相同.另外,還記載了課分（比較分?jǐn)?shù)大小）、平分（求分?jǐn)?shù)的平均值）等關(guān)于分?jǐn)?shù)的知識(shí),是世界上最早的系統(tǒng)敘述分?jǐn)?shù)的著作.
分?jǐn)?shù)運(yùn)算,大約在15世紀(jì)才在歐洲流行.歐洲人普遍認(rèn)為,這種算法起源于印度.實(shí)際上,印度在七世紀(jì)婆羅門笈多的著作中才開始有分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則,這些法則都與《九章算術(shù)》中介紹的法則相同.而劉徽的《九章算術(shù)注》成書于魏景元四年（263年）,所以,即使與劉徽的時(shí)代相比,我們也要比印度早400年左右.
小數(shù)的最早使用
劉徽在《九章算術(shù)注》中介紹,開方不盡時(shí)用十進(jìn)分?jǐn)?shù)（徽數(shù),即小數(shù)）去逼近,首先提出了關(guān)于十進(jìn)小數(shù)的概念.到公元 1300年前后,元代劉瑾所著《律呂成書》中,已將106368.6312寫成
把小數(shù)部分降低一行寫在整數(shù)部分的后邊.而西方的斯臺(tái)汶直到1585年才有十進(jìn)小數(shù)的概念,且他的表示方法遠(yuǎn)不如中國先進(jìn),如上述的小數(shù),他記成或106368.
九九表的使用
作為啟蒙教材,我們都背過九九乘法表：一一得一、一二得二……九九八十一.而古代是從"九九八十一"開始,因此稱"九九表".九九表的使用,對(duì)于完成乘法是大有幫助的.齊恒公納賢的故事說明,到公元前7世紀(jì)時(shí),九九歌訣已不希罕.也許有人認(rèn)為這種成績不值一提.但在古代埃及作乘法卻要用倍乘的方式呢.舉個(gè)例子.如算23×13,就需要從23開始,加倍得到23×2,23×4,23×8,然后注意到13＝1＋4＋8,于是23＋23×4＋23×8加起來的結(jié)果就是23×13.從比較中不難看出使用九九表的優(yōu)越性了.
根據(jù)考古專家在湖南張家界古人堤漢代遺址出土的簡牘上發(fā)現(xiàn)的漢代"九九乘法表",竟與現(xiàn)今生活中使用的乘法口訣表有著驚人的一致.這枚記載有"九九乘法表"的簡牘是木質(zhì)的,大約有22厘米長,殘損比較嚴(yán)重.此前在湘西里耶古城出土的一枚秦簡上也發(fā)現(xiàn)了距今2200多年的乘法口訣表,并被考證為中國現(xiàn)今發(fā)現(xiàn)的最早的乘法口訣表實(shí)物.
除了里耶秦簡外,與張家界古人堤遺址發(fā)現(xiàn)的這枚簡牘樣式基本一致的"九九乘法表"還曾在樓蘭文書中見到過,那是寫在兩張殘紙上的九九乘法表,為瑞典探險(xiǎn)家斯文赫定在上個(gè)世紀(jì)初期發(fā)掘.
乘法表在古代并非中國一家獨(dú)有,古巴比倫的泥版書上也有乘法表.但漢字（包括數(shù)目字）單音節(jié)發(fā)聲的特點(diǎn),使之讀起來朗朗上口；后來發(fā)展起來的珠算口訣也承繼了這一特點(diǎn),對(duì)于運(yùn)算速度的提高和算法的改進(jìn)起到一定作用.
負(fù)數(shù)的使用
人們?cè)诮夥匠袒蚱渌鼣?shù)的運(yùn)算過程中,往往要碰到從較小數(shù)減去較大數(shù)的情形,另外,還遇到了增加與減小,盈余與虧損等互為相反意義的量,這樣,人們自然地引進(jìn)了負(fù)數(shù).
負(fù)數(shù)的引進(jìn),是中國古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的一個(gè)巨大貢獻(xiàn).在我國古代秦、漢時(shí)期的算經(jīng)《九章算術(shù)》的第八章"方程"中,就自由地引入了負(fù)數(shù),如負(fù)數(shù)出現(xiàn)在方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)中,把"賣（收入錢）"作為正,則"買（付出錢）"作為負(fù),把"余錢"作為正,則"不足錢"作為負(fù).在關(guān)于糧谷計(jì)算的問題中,是以益實(shí)（增加糧谷）為正,損實(shí)（減少糧谷）為負(fù)等,并且該書還指出："兩算得失相反,要以正負(fù)以名之".當(dāng)時(shí)是用算籌來進(jìn)行計(jì)算的,所以在算籌中,相應(yīng)地規(guī)定以紅籌為正,黑籌為負(fù)；或?qū)⑺慊I直列作正,斜置作負(fù).這樣,遇到具有相反意義的量,就能用正負(fù)數(shù)明確地區(qū)別了.
在《九章算術(shù)》中,除了引進(jìn)正負(fù)數(shù)的概念外,還完整地記載了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,實(shí)際上是正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則,也就是書中解方程時(shí)用到的"正負(fù)術(shù)"即"同名相除,異名相益,正無入正之,負(fù)無入負(fù)之；其異名相除,同名相益,正無入正之,負(fù)無入負(fù)之."這段話的前四句說的是正負(fù)數(shù)減法法則,后四句說的是正負(fù)數(shù)加法法則.它的意思是：同號(hào)兩數(shù)相減,等于其絕對(duì)值相減；異號(hào)兩數(shù)相減,等于其絕對(duì)值相加；零減正數(shù)得負(fù)數(shù),零減負(fù)數(shù)得正數(shù).異號(hào)兩數(shù)相加,等于其絕對(duì)值相減；同號(hào)兩數(shù)相加,等于其絕對(duì)值相加；零加正數(shù)得正數(shù),零加負(fù)數(shù)得負(fù)數(shù),當(dāng)然,從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看,古書中的文字?jǐn)⑹鲞€不夠嚴(yán)謹(jǐn),但直到公元17世紀(jì)以前,這還是正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算最完整的敘述.
在國外,負(fù)數(shù)出現(xiàn)得很晚,直至公元1150年（比《九章算術(shù)》成書晚l千多年）,印度人巴土卡洛首先提到了負(fù)數(shù),而且在公元17世紀(jì)以前,許多數(shù)學(xué)家一直采取不承認(rèn)的態(tài)度.如法國大數(shù)學(xué)家韋達(dá),盡管在代數(shù)方面作出了巨大貢獻(xiàn),但他在解方程時(shí)卻極力回避負(fù)數(shù),并把負(fù)根統(tǒng)統(tǒng)舍去.有許多數(shù)學(xué)家由于把零看作"沒有",他們不能理解比"沒有"還要"少"的現(xiàn)象,因而認(rèn)為負(fù)數(shù)是"荒謬的".直到17世紀(jì),笛卡兒創(chuàng)立了坐標(biāo)系,負(fù)數(shù)獲得了幾何解釋和實(shí)際意義,才逐漸得到了公認(rèn).
從上面可以看出,負(fù)數(shù)的引進(jìn),是我國古代數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)給世界數(shù)學(xué)的一份寶貴財(cái)富.負(fù)數(shù)概念引進(jìn)后,整數(shù)集和有理數(shù)集就完整地形成了.
圓周率的計(jì)算
圓周率是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一.對(duì)它的計(jì)算,可以作為顯示出一個(gè)國家古代數(shù)學(xué)發(fā)展的水平的尺度之一.而我國古代數(shù)學(xué)在這方面取得了令世人矚目的成績.
我國古代最初把圓周率取作3,這雖應(yīng)用起來簡便,但太不準(zhǔn)確.在求準(zhǔn)確圓周率值的征途中,首先邁出關(guān)鍵一步的是劉徽.他創(chuàng)立割圓術(shù),用圓內(nèi)接正多邊形無限逼近圓而求取圓周率值.用這種方法他求得圓周率的近似值為3.14,也有人認(rèn)為他得到了更好的結(jié)果：3.1416.青出于藍(lán),而勝于藍(lán).后繼者祖沖之利用割圓術(shù)得出了正確的小數(shù)點(diǎn)后七位.而且他還給出了約率與密率.密率的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上卓越的成就,保持了一千多年的世界紀(jì)錄,是一項(xiàng)空前杰作.