1、橢圓面積：
設(shè)橢圓方程為:x^2/a^2+y^2/b^2=1,
F1、F2分別是橢圓的左右焦點,P是橢圓上任意一點,PF1和PF2夾角為θ,
在△PF1F2中,根據(jù)余弦定理,
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ
|PF1|+|PF2|=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1+PF2)^2-2|PF1||PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ
4c^2=4a^2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),
|PF1||PF2|=2(a^2-c^2)/(1+cosθ)
=2b^2/(1+cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1+cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(cosθ/2)^2]
=b^2tan(θ/2).
∴S△PF1F2=b^2tan(θ/2).
2、雙曲線面積：
設(shè)雙曲線方程為:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
F1、F2分別是雙曲線的左右焦點,P是雙曲線上任意一點,PF1和PF2夾角為θ,
在△PF1F2中,根據(jù)余弦定理,
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ,
||PF1|-|PF2||=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1-PF2)^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ,
4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)
|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=2(c^2-a^2)=2b^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1-cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(sinθ/2)^2]
=b^2*cos(θ/2)/[sin(θ/2)]
=b^2cot(θ/2).
cos
θθθθ