風(fēng)零/mg6級2009-04-18可以從實(shí)變函數(shù)和泛函分析學(xué)起.學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù),有利于你建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些基本觀念（如函數(shù)類）掌握一些基本方法以及積累一些素材.學(xué)過實(shí)變函數(shù)就可以進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),泛函分析了.只有學(xué)過泛函分析,你才能對（非相對論）量子力學(xué)有清楚的認(rèn)識.這時(shí)量子力學(xué)才不是形式的而是嚴(yán)格的.實(shí)變函數(shù)和泛函分析的書最好的當(dāng)屬《REAL AND ABSTRACT ANALYSIS》\x0d為了準(zhǔn)備學(xué)微分幾何,還要學(xué)一些拓樸和代數(shù).這只是準(zhǔn)備概念,不必費(fèi)太多時(shí)間.代數(shù)可以看藍(lán)以中的《高等代數(shù)教程》,這書用近式代數(shù)的語言將古典的矩陣和線性空間的理論加以重復(fù),對于理解抽象的代數(shù)概念很有好處.拓樸可以看《拓樸學(xué)基礎(chǔ)》.這書上的習(xí)題狂多,不過只要第一章會了其它章節(jié)很簡單.\x0d學(xué)過泛函分析和拓樸就可以學(xué)真正在發(fā)展物理理論中有用的微分幾何了.微分幾何內(nèi)容十分龐雜,從最基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)的值等于切線斜率,一直到函數(shù)空間中的幾何學(xué).這些東西要在短時(shí)間內(nèi)學(xué)會很不容易,不過也有跡可尋.首選的入門書是陳維桓的《微分幾何基礎(chǔ)》這書不需要高深的基礎(chǔ),但是卻是微分幾何的入門.學(xué)過之后就可以看陳省身的《微分幾何》了.這兩本書讀過以后再回頭讀《數(shù)學(xué)物理中的微分形式》,學(xué)習(xí)如何應(yīng)用這些數(shù)學(xué).《數(shù)學(xué)物理中的微分形式》算不上嚴(yán)格的數(shù)學(xué)書,但是里面對如何使用數(shù)學(xué)卻講得很好.如果覺得李群和李代數(shù)有用,還可以專門看看這方面的書.不過我建議找一本以特殊函數(shù)為工具,介紹李群的書.看過以后你就知道Bessel函數(shù)等那些在數(shù)理方法中學(xué)過的東西是何等重要.它們直接是對稱性的反映,只不過那時(shí)你還小并沒有認(rèn)識這一點(diǎn).學(xué)過這以后你知道量子力學(xué)真正關(guān)心的是什么了.原來量子力學(xué)做來做去是一種關(guān)于對稱的理論.在這一理論中作為群的表示的基的波函數(shù)是次要的,而群本身和代表它的特征值才重要,而這些被物理量正是特征值.\x0d門(實(shí)際是一門)學(xué)問可以說是高深莫測.就是對于一個(gè)內(nèi)功小成的人而言,它們的數(shù)\x0d學(xué)也是你所不掌握的.這兩門學(xué)問的深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過我\x0d們今天的數(shù)學(xué)所能達(dá)到的范疇.\x0d量子力學(xué)實(shí)際上是一種量子理論.它所包含的內(nèi)容極廣,從大學(xué)三年級學(xué)生學(xué)的一維\x0d無窮神勢井,到超弦可以說都是量子理論.量子力學(xué)大致分兩個(gè)層次,非相對論的量子\x0d力學(xué)以及量子場論和量子規(guī)范場論.對于前者P.A.M DIRAC在1937年寫過著名的