現(xiàn)在根據(jù)這兩個(gè)事實(shí),推導(dǎo)坐標(biāo)的變換式
　設(shè)想有兩個(gè)慣性坐標(biāo)系分別叫S系、S'系,S'系的原點(diǎn)O‘相對S系的原點(diǎn)O以速率v沿x軸正方向運(yùn)動(dòng).任意一事件在S系、S'系中的時(shí)空坐標(biāo)分別為（x,y,z,t）、（x',y',z',t'）.兩慣性系重合時(shí),分別開始計(jì)時(shí) 　　若x=0,則x'+vt'=0.這是變換須滿足的一個(gè)必要條件,故猜測任意一事件的坐標(biāo)從S'系到S系的變換為 　　x=γ(x'+vt') (1) 　　式中引入了常數(shù)γ,命名為洛倫茲因子 　?。ㄓ捎谶@個(gè)變換是猜測的,顯然需要對其推導(dǎo)出的結(jié)論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證其正確性） 　　在此猜測上,引入相對性原理,即不同慣性系的物理方程的形式應(yīng)相同.故上述事件坐標(biāo)從S系到S'系的變換為 　　x'=γ(x-vt) (2) 　　y與y'、z與z'的變換可以直接得出,即 　　y'=y (3) 　　z'=z (4) 　　把（2）代入（1）,解t'得 　　t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5) 　　在上面推導(dǎo)的基礎(chǔ)上,引入光速不變原理,以尋求γ的取值 　　設(shè)想由重合的原點(diǎn)O（O'）發(fā)出一束沿x軸正方向的光,設(shè)該光束的波前坐標(biāo)為（X,Y,Z,T)、(X',Y',Z',T').根據(jù)光速不變,有 　　X=cT (6) 　　X’=cT' (7) 　　（1）（2）相乘得 　　xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8) 　　以波前這一事件作為對象,則（8）寫成 　　XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9) 　?。?）（7）代入（9）,化簡得洛倫茲因子 　　γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10) 　　（10）代入（5）,化簡得 　　t'=γ(t-vx/c^2) (11) 　　把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起,即S系到S'系的洛倫茲變換 　　x'=γ(x-vt),　　y'=y,　　z'=z,　　t'=γ(t-vx/c^2) (12) 　　根據(jù)相對性原理,由（12）得S'系到S系的洛倫茲變換 　　x=γ(x'+vt'),　　y=y',　　z=z',　　t=γ(t'+vx'/c^2) (13) 　　下面求洛倫茲變換下的速度變換關(guān)系 　　考慮分別從S系和S'系觀測一質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.設(shè)在S系和S'系中分別測得的速度為u(j,n,m)和u'(j',n',m') 　　由（12）對t'求導(dǎo)即得 S系到S'系的洛倫茲速度變換 　　j'=(j-v)/(1-vj/c^2),　　n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1],　　m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14) 　　根據(jù)相對性原理,由（14）得S'系到S系的洛倫茲速度變換 　　j=(j'+v)/(1+vj'/c^2),　　n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1],　　m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15) 　　洛倫茲變換結(jié)合動(dòng)量定理和質(zhì)量守恒定律,可以得出狹義相對論的所有定量結(jié)論.這些結(jié)論得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后,也就說明了狹義相對論的正確性