導(dǎo)數(shù)
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導(dǎo)數(shù)（derivative）亦名微商,由速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念.又稱變化率.如一輛汽車在10小時內(nèi)走了 600千米,它的平均速度是60千米／小時,但在實際行駛過程中,是有快慢變化的,不都是60千米／小時.為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況,可以縮短時間間隔,設(shè)汽車所在位置s與時間t的關(guān)系為s＝f（t）,那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內(nèi)的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0],當(dāng) t1與t0很接近時,汽車行駛的快慢變化就不會很大,平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內(nèi)的運動變化情況 ,自然就把極限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度,這就是通常所說的速度.一般地,假設(shè)一元函數(shù) y＝f(x )在 x0點的附近(x0－a ,x0 ＋a)內(nèi)有定義,當(dāng)自變量的增量Δx＝ x－x0→0時函數(shù)增量 Δy＝f（x）－ f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數(shù)f在x0點可導(dǎo),稱之為f在x0點的導(dǎo)數(shù)（或變化率).若函數(shù)f在區(qū)間I 的每一點都可導(dǎo),便得到一個以I為定義域的新函數(shù),記作 f′,稱之為f的導(dǎo)函數(shù),簡稱為導(dǎo)數(shù).函數(shù)y＝f（x）在x0點的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義：表示曲線l 在P0〔x0,f（x0）〕 點的切線斜率.
導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念.導(dǎo)數(shù)定義為,當(dāng)自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時,稱這個函數(shù)可導(dǎo)或者可微分.可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù).不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo).
物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示.如,導(dǎo)數(shù)可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性.
求導(dǎo)數(shù)的方法
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（1）求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：
① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均變化率
③ 取極限,得導(dǎo)數(shù).
（2）幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：
① C'=0(C為常數(shù))；
② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)'=cosx；
④ (cosx)'=-sinx；
⑤ (e^x)'=e^x；
⑥ (a^x)'=a^xIna （ln為自然對數(shù)）

（3）導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t.
導(dǎo)數(shù)是微積分的一個重要的支柱!
導(dǎo)數(shù)公式及證明
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這里將列舉幾個基本的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及它們的推導(dǎo)過程:
1.y=c(c為常數(shù)) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推導(dǎo)的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(shù)(x）看作整個變量,而g'(x)中把x看作變量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y）,則有y'=1/x'
證：1.顯而易見,y=c是一條平行于x軸的直線,所以處處的切線都是平行于x的,故斜率為0.用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.
2.這個的推導(dǎo)暫且不證,因為如果根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實數(shù)的一般情況.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明.
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的,必須設(shè)一個輔助的函數(shù)β＝a^⊿x-1通過換元進(jìn)行計算.由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：⊿x=loga(1+β).
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然,當(dāng)⊿x→0時,β也是趨向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把這個結(jié)果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
可以知道,當(dāng)a=e時有y=e^x y'=e^x.
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因為當(dāng)⊿x→0時,⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.
可以知道,當(dāng)a=e時有y=lnx y'=1/x.
這時可以進(jìn)行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了.因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地,可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx.
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時通過查閱導(dǎo)數(shù)表和運用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結(jié)果.
對于y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導(dǎo)方法.
y=x^n
由指數(shù)函數(shù)定義可知,y>0
等式兩邊取自然對數(shù)
ln y=n*ln x
等式兩邊對x求導(dǎo),注意y是y對x的復(fù)合函數(shù)
y' * (1/y)=n*(1/x)
y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)
冪函數(shù)同理可證