1＋1/2²＋1/3²＋ … ＋1/n²→π²/6
這個(gè)首先是由歐拉推出來(lái)的,要用到泰勒公式,屬于大學(xué)范圍
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將sinx按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2,有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根為0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根為π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根為π²,(2π)²,…
由韋達(dá)定理,常數(shù)項(xiàng)為1時(shí),根的倒數(shù)和＝一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6