1^6+2^6+3^6+.+n^6
=(1/7)n^7+(1/2)n^6+(1/2)n^5-(1/6)n^3+(1/42)n怎樣得出的,非常感謝通法如下：
因?yàn)?^k，2^k，3^k，...，n^k是k階等差數(shù)列，故
不妨設(shè)1^k+2^k+3^k+...+n^k
=a0(k)+a1(k)*n+a2(k)*n^2+...+ak+1(k+1)n^(k+1)
經(jīng)計(jì)算可得：
a0(k)=0
ai(k)=P(k+1,k)，i=1,…,k-1
ak(k)=1/2
ak+1(k+1)=1/k
其中
P(i,i)=1/k，i=1,…,k+1
P(i,j)=-(1/i)(∑(n=j,…,i-1)C(i,n-1)P(n,j)，iC(m,n)為m個(gè)不同數(shù)中取n個(gè)數(shù)的組合數(shù)=m!/(n!(m-n)!)
當(dāng)k=6時(shí)，由上面公式不難得出
1^6+2^6+3^6+......+n^6
=(1/7)n^7+(1/2)n^6+(1/2)n^5-(1/6)n^3+(1/42)n