圓周率的計(jì)算方法
古人計(jì)算圓周率,一般是用割圓法.即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長(zhǎng).Archimedes用正96邊形得到圓周率小數(shù)點(diǎn)后3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262邊形得到了35位精度.這種基于幾何的算法計(jì)算量大,速度慢,吃力不討好.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)家們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)有意無意地發(fā)現(xiàn)了許多計(jì)算圓周率的公式.下面挑選一些經(jīng)典的常用公式加以介紹.除了這些經(jīng)典公式外,還有很多其他公式和由這些經(jīng)典公式衍生出來的公式,就不一一列舉了.
這個(gè)公式由英國(guó)天文學(xué)教授John Machin于1706年發(fā)現(xiàn).他利用這個(gè)公式計(jì)算到了100位的圓周率.Machin公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到1.4位的十進(jìn)制精度.因?yàn)樗挠?jì)算過程中被乘數(shù)和被除數(shù)都不大于長(zhǎng)整數(shù),所以可以很容易地在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn).
Machin.c 源程序
還有很多類似于Machin公式的反正切公式.在所有這些公式中,Machin公式似乎是最快的了.雖然如此,如果要計(jì)算更多的位數(shù),比如幾千萬(wàn)位,Machin公式就力不從心了.下面介紹的算法,在PC機(jī)上計(jì)算大約一天時(shí)間,就可以得到圓周率的過億位的精度.這些算法用程序?qū)崿F(xiàn)起來比較復(fù)雜.因?yàn)橛?jì)算過程中涉及兩個(gè)大數(shù)的乘除運(yùn)算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法.FFT可以將兩個(gè)大數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)間由O(n2)縮短為O(nlog(n)).
在我國(guó),首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率.公元263年前后,劉徽提出著名的割圓術(shù),得出 π ＝3.14,通常稱為“徽率”,他指出這是不足近似值.雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些,但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處.割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界,比阿基米德用內(nèi)接同時(shí)又用外切正多邊形簡(jiǎn)捷得多.另外,有人認(rèn)為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法,以致于他將割到192邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過簡(jiǎn)單的加權(quán)平均,竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416.而這一結(jié)果,正如劉徽本人指出的,如果通過割圓計(jì)算得出這個(gè)結(jié)果,需要割到3072邊形.這種精加工方法的效果是奇妙的.這一神奇的精加工技術(shù)是割圓術(shù)中最為精彩的部分,令人遺憾的是,由于人們對(duì)它缺乏理解而被長(zhǎng)期埋沒了.
恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻(xiàn)吧.對(duì)此,《隋書·律歷志》有如下記載：“宋末,南徐州從事祖沖之更開密法.以圓徑一億為丈,圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數(shù)在盈朒二限之間.密率：圓徑一百一十三,圓周三百五十五.約率,圓徑七,周二十二.”
這一記錄指出,祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn).其一是求得圓周率
3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927
其二是,得到 π 的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為22／7；密率為355／113.
他算出的 π 的8位可靠數(shù)字,不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率,而且保持世界記錄九百多年.以致于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率”.
這一結(jié)果是如何獲得的呢?追根溯源,正是基于對(duì)劉徽割圓術(shù)的繼承與發(fā)展,祖沖之才能得到這一非凡的成果.因而當(dāng)我們稱頌祖沖之的功績(jī)時(shí),不要忘記他的成就的取得是因?yàn)樗驹跀?shù)學(xué)偉人劉徽的肩膀上的緣故.后人曾推算若要單純地通過計(jì)算圓內(nèi)接多邊形邊長(zhǎng)的話,得到這一結(jié)果,需要算到圓內(nèi)接正12288邊形,才能得到這樣精確度的值.祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡(jiǎn)化計(jì)算呢?這已經(jīng)不得而知,因?yàn)橛涊d其研究成果的著作《綴術(shù)》早已失傳了.這在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一件極令人痛惜的事.
中國(guó)發(fā)行的祖沖之紀(jì)念郵票
祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽(yù)：巴黎“發(fā)現(xiàn)宮”科學(xué)博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率,莫斯科大學(xué)禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像,月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山……
對(duì)于祖沖之的關(guān)于圓周率的第二點(diǎn)貢獻(xiàn),即他選用兩個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)尤其是用密率來近似地表示 π 這一點(diǎn),通常人們不會(huì)太注意.然而,實(shí)際上,后者在數(shù)學(xué)上有更重要的意義.
密率與 π 的近似程度很好,但形式上卻很簡(jiǎn)單,并且很優(yōu)美,只用到了數(shù)字1、3、5.數(shù)學(xué)史家梁宗巨教授驗(yàn)證出：分母小于16604的一切分?jǐn)?shù)中,沒有比密率更接近 π 的分?jǐn)?shù).在國(guó)外,祖沖之死后一千多年,西方人才獲得這一結(jié)果.
可見,密率的提出是一件很不簡(jiǎn)單的事情.人們自然要追究他是采用什么辦法得到這一結(jié)果的呢?他是用什么辦法把圓周率從小數(shù)表示的近似值化為近似分?jǐn)?shù)的呢?這一問題歷來為數(shù)學(xué)史家所關(guān)注.由于文獻(xiàn)的失傳,祖沖之的求法已不為人知.后人對(duì)此進(jìn)行了各種猜測(cè).