從1到10,連續(xù)10個(gè)整數(shù)相乘：
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10.
連乘積的末尾有幾個(gè)0?
答案是兩個(gè)0.其中,從因數(shù)10得到1個(gè)0,從因數(shù)2和5相乘又得到1個(gè)0,共計(jì)兩個(gè).
剛好兩個(gè)0?會(huì)不會(huì)再多幾個(gè)呢?
如果不相信,可以把乘積計(jì)算出來,結(jié)果得到
原式=3628800.你看,乘積的末尾剛好兩個(gè)0,想多1個(gè)也沒有.
那么,如果擴(kuò)大規(guī)模,拉長(zhǎng)隊(duì)伍呢?譬如說,從1乘到20：
1×2×3×4×…×19×20.這時(shí)乘積的末尾共有幾個(gè)0呢?
現(xiàn)在答案變成4個(gè)0.其中,從因數(shù)10得到1個(gè)0,從20得到1個(gè)0,從5和2相乘得到1個(gè)0,從15和4相乘又得到1個(gè)0,共計(jì)4個(gè)0.
剛好4個(gè)0?會(huì)不會(huì)再多幾個(gè)?
請(qǐng)放心,多不了.要想在乘積末尾得到一個(gè)0,就要有一個(gè)質(zhì)因數(shù)5和一個(gè)質(zhì)因數(shù)2配對(duì)相乘.在乘積的質(zhì)因數(shù)里,2多、5少.有一個(gè)質(zhì)因數(shù)5,乘積末尾才有一個(gè)0.從1乘到20,只有5、10、15、20里面各有一個(gè)質(zhì)因數(shù)5,乘積末尾只可能有4個(gè)0,再也多不出來了.
把規(guī)模再擴(kuò)大一點(diǎn),從1乘到30：
1×2×3×4×…×29×30.現(xiàn)在乘積的末尾共有幾個(gè)0?
很明顯,至少有6個(gè)0.
你看,從1到30,這里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍數(shù).從它們每個(gè)數(shù)可以得到1個(gè)0；它們共有6個(gè)數(shù),可以得到6個(gè)0.
剛好6個(gè)0?會(huì)不會(huì)再多一些呢?
能多不能多,全看質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù).25是5的平方,含有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)5,這里多出1個(gè)5來.從1乘到30,雖然30個(gè)因數(shù)中只有6個(gè)是5的倍數(shù),但是卻含有7個(gè)質(zhì)因數(shù)5.所以乘積的末尾共有7個(gè)0.
乘到30的會(huì)做了,無(wú)論多大范圍的也就會(huì)做了.
例如,這次乘多一些,從1乘到500：
1×2×3×4×…×99×500.現(xiàn)在的乘積末尾共有多少個(gè)0?
答案是124個(gè).
有因數(shù)5的個(gè)數(shù)是：500/5=100
有因數(shù)25的個(gè)數(shù)是：500/25=20
有因數(shù)125的個(gè)數(shù)是：500/125=4
所以一共有：100+20+4=124個(gè)