證法1：
設(shè)n個三角形最多將平面分成an個部分.
n=1時,a1=2；
n=2時,第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有2個交點,三條邊與第一個三角形最多有2×3=6（個）交點.這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段,這6段中的每一段都將原來的每一個部分分成2個部分,從而平面也增加了6個部分,即a2＝2＋2×3.
n＝3時,第三個三角形與前面兩個三角形最多有4×3＝12（個）交點,從而平面也增加了12個部分,即：a3=2＋2×3＋4×3.
……
一般地,第n個三角形與前面（n-1）個三角形最多有2（n-1）×3個交點,從而平面也增加2（n－1）×3個部分,故
an=2＋2×3＋4×3＋…＋2（n-1）×3
＝2＋〔2＋4＋…＋2（n-1）〕×3
＝2＋3n（n-1）＝3n^2-3n＋2.
證法2：
1個三角形把平面分成2部分
第二個三角形和第一個三角形最多有6個交點,最多可以分成8個平面,增加了6個
第三個三角形和前兩個三角形每一個最多都能有6個交點,一共多了2x6=12個交點,平面就能多2x6=12個
以此類推,第N個三角形可以把平面最多分成：
2+1x6+2x6+3x6+.+(n-1)x6
=2+6x(1+2+3+.+(n-1))
=2+3n(n-1)