將一個(gè)正△平分成5個(gè)全等的△是不可能的,用反證法證明如下.
假定有一個(gè)滿足要求的劃分.
設(shè)這個(gè)劃分在正△的邊上有e個(gè)頂點(diǎn),內(nèi)部有f個(gè)頂點(diǎn).那么計(jì)算內(nèi)角和,有
5π=π+e•π+f•2π
得e+2f=4.故f≤2.
若f=2,e=0,那么三條邊都是完整的,屬于3個(gè)△,還有兩個(gè)△不含這種長(zhǎng)邊,故不可能全等.
若f=1,e=2,那么就有1至2條邊是完整的,同樣也不行.
若f=0,e=4,使正△的三條邊都有頂點(diǎn)分?jǐn)?并且有一條邊被兩個(gè)頂點(diǎn)分成3段.這種情況需要仔細(xì)分析.由于f=0,所以引線不能在內(nèi)部相交,這點(diǎn)不能違背.
設(shè)正△的面積為5,那么劃分的5個(gè)全等小△的面積都是1.
1、從正△的頂點(diǎn)A向?qū)匓C上的點(diǎn)E引線.
這首先把正△ABC分成左右兩個(gè)過渡△,左邊ABE將包含2個(gè)小△,右邊ACE將包含3個(gè)小△.故S左=2,S右=3,所以BE/CE=2/3.E與邊AB上的點(diǎn)D連線將ABE分成2個(gè)全等小△,因面積相等,所以D應(yīng)為AB的中點(diǎn).可是這樣劃分的ADE與BDE顯然并不全等.
2、排除了從正△頂點(diǎn)引線的可能性后,那么正△的三個(gè)頂角都被完整遺傳,所以5個(gè)小△也是正△的情況很容易排除,即小△只有一個(gè)60度角,故必為全等之對(duì)應(yīng)角.現(xiàn)在設(shè)邊上4點(diǎn)的分配為AB上有點(diǎn)D,BC上有點(diǎn)E和F（E靠近B）,CA上有點(diǎn)G.
那么要么BD對(duì)應(yīng)地等于AD,要么BD對(duì)應(yīng)地等于AG,二者必居其一.
若BD=AG,則BE=AD,CE=AG,即△DEG為內(nèi)接正△,△CEG也等于面積為1的小△,這與它包含面積為1的小△CFG相矛盾.故只BD=AD,即D為AB中點(diǎn).
同理,G為AC中點(diǎn).但這樣的話,△ADG就是正△,并且是四等分△了,矛盾.
故不存在滿足要求的劃分.