我們都知道LOG(2)是一個(gè)無理數(shù)
這樣的映射f叫做無理旋轉(zhuǎn)(irrational rotation)
（類似的,如果旋轉(zhuǎn)的單位數(shù)是有理數(shù)就叫有理旋轉(zhuǎn)
兩者本質(zhì)的區(qū)別在于有理旋轉(zhuǎn)總可以經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)將一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)回到它本身
而無理旋轉(zhuǎn)一個(gè)點(diǎn)一旦開始旋轉(zhuǎn)就再不可能回到它本身
有理旋轉(zhuǎn)的軌道是有限個(gè)點(diǎn)
而無理旋轉(zhuǎn)的軌道是無限個(gè)點(diǎn)而且是稠密的布滿整個(gè)圓周
所以無理旋轉(zhuǎn)是遍歷的而有理旋轉(zhuǎn)不是）
遍歷論的知識告訴我們
無理旋轉(zhuǎn)是遍歷的(ergodic)
遍歷,又叫各態(tài)經(jīng)歷
意思就是經(jīng)歷各種狀態(tài)
關(guān)于遍歷的映射有一個(gè)基本而重要的定理(Birkhoff Ergodic Theorem)
定理的一個(gè)特殊情況是說對于一個(gè)遍歷的映射
當(dāng)?shù)螖?shù)從0到正無窮取值時(shí)
映射的值落在某個(gè)確定的區(qū)間的概率就等于區(qū)間的測度
什么是測度呢?
可以簡單理解為該區(qū)間在整個(gè)區(qū)間中所占的比重
在這個(gè)問題里,圓周長已經(jīng)是1了
那么區(qū)間的測度就等于弧長
LOG(5)和LOG(6)在圓上對應(yīng)的點(diǎn)之間的弧長就是LOG(6)-LOG(5)
所以
2的n次方的首位數(shù)字是5的概率就是LOG(6)-LOG(5)