自然數(shù)（natural number）
根據(jù)現(xiàn)行小學(xué)課本簡單說就是大于等于零的整數(shù).說專業(yè)些是用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù) .即用數(shù)碼1,2,3,4,……所表示的數(shù) .自然數(shù)由1開始 ,一個接一個,組成一個無窮集合.自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算,兩個自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù),也可以作減法或除法,但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù),所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的.自然數(shù)是人們認(rèn)識的所有數(shù)中最基本的一類,為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ),19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價的理論棗自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論,使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述.
序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的.他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì),用公理法給出自然數(shù)的如下定義.
自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素,記作1.②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的后繼者.③ 1不是任何元素的后繼者.④ 不同元素有不同的后繼者.⑤（歸納公理）N的任一子集M,如果1∈M,并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中,那么M＝N.
基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù),這種理論提出,兩個可以在元素之間建立一一對應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征,這一特征叫做基 數(shù) .這樣 ,所有單元素集｛x｝,｛y｝,｛a｝,｛b｝等具有同一基數(shù) ,記作1 .類似,凡能與兩個手指頭建立一一對應(yīng)的集合,它們的基數(shù)相同,記作2,等等 .自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義,并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的.