設(shè)關(guān)于L對稱的兩個雙曲線上的點為P(x1,y1),Q(x2,y2)
則根據(jù)對稱的定義,可知：線段PQ被直線L垂直平分
由PQ⊥L
可知kPQ=-1/kL=-1/k
因此可設(shè)直線PQ的方程為：y=(-1/k)*x+b
聯(lián)立直線PQ與雙曲線：3x^-y^=1的方程,消去y,可得到關(guān)于x的一元二次方程：
(3k^-1)x^ +2bkx-(b^+3)k^=0
（當(dāng)3k^-1=0,即k=±√3/3時,方程為一元一次方程,說明直線PQ與雙曲線只有一個交點,必然不可能滿足存在對稱點的條件,故k=±√3/3不符合題意 ,k≠±√3/3,3k^-1≠0 ）
此方程的兩個實根必為P,Q這兩個直線PQ與雙曲線交點的橫坐標(biāo)x1,x2
由韋達(dá)定理有：
x1+x2=-2bk/(3k^-1) ①
而此方程要有兩個不等的實根x1,x2,必然要使：
△=(2bk)^-4*(3k^-1)*[-(b^+3)k^]>0
化簡后即：k^b^+（3k^-1）>0 ②
P,Q兩點代入所設(shè)的直線PQ的方程有：
y1=(-1/k)x1+b
y2=(-1/k)x2+b
于是：
y1+y2=(-1/k)*(x1+x2)+2b
將①代入：
y1+y2=6bk^/(3k^-1) ③
由剛才已知的L是線段PQ的中垂線,可知,PQ的中點M必在直線L上,而PQ中點M根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得：
M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
代入①,③式,可得：
M（-bk/(3k^-1),3bk^/(3k^-1)）
而M點在直線L:y=kx+4上,可將其帶入方程兩側(cè)替換x,y的位置,進(jìn)行化簡,并最終可得到關(guān)于k和b的關(guān)系式為：
bk^=3k^-1
當(dāng)k=0時,顯然等式不成立,故k不能為0,k≠0 ※
∴有:b=(3k^-1)/k^ ④
將其帶入②,并作出化簡,最終可得：
(3k^-1)(4k^-1)>0
k^>1/3或k^√3/3或k