在定積分理論研究中,他對(duì)閉區(qū)間上的有界函數(shù)可積性問題進(jìn)行了仔細(xì)的研究,1875年他把黎曼提出但未給予證明的一個(gè)可積性條件闡述得十分完備,證明了有界函數(shù)f(x)在〔a,b]上可積的充要條件,證明了推廣意義下可積函數(shù)的微積分基本定理的成立,得到“可測函數(shù)L可積的充要條件是測度為零”的定理,提出了所謂的高積分、低積分、上限和、下限和等許多后人以達(dá)布命名的概念．例如,1875年引入的所謂達(dá)布和：設(shè)f(x)是定義在區(qū)間〔a,b]上的一元實(shí)函數(shù),以任意方式在a和b之間插入一些分點(diǎn)a=x0＜x1＜x2＜…＜Xn=b,把整個(gè)區(qū)間分成若干小區(qū)間[xi-1,xi],i=1,2,…,n．設(shè)函數(shù)f(x)在第i個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上的下確界和上確界分別為mi和Mi,作出和數(shù)
其中△xi=xi-xi-1是小區(qū)間[xi-1,xi]的長度,稱s為下積分或小和；S為上積分或大和,大和與小和統(tǒng)稱為達(dá)布和．
具體參見一下連接：