【數(shù)學(xué)的第三次危機(jī)】
在科學(xué)技術(shù)中,當(dāng)一種反?，F(xiàn)象與通常理論發(fā)生沖突時(shí),就會出現(xiàn)理論方面的危機(jī).在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,已經(jīng)經(jīng)歷了三次危機(jī): 公元前5世紀(jì),由于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)而與該學(xué)派所信奉的"一切數(shù)皆可用有理數(shù)來表示"相矛盾,從而導(dǎo)致了第一次的危機(jī); 在18世紀(jì),由于牛頓,萊布尼茲等人在早期微積分工作中缺乏堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)而出現(xiàn)了第二次危機(jī); 到了19世紀(jì)下葉,康托創(chuàng)立了集合論,按理這是數(shù)學(xué)史上的一大進(jìn)步.但是在集合論的研究過程中,卻出現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī).這次危機(jī)是由于集合論的悖論所引起的.所謂悖論就是邏輯矛盾.集合論本來是論證十分嚴(yán)格的一個(gè)數(shù)學(xué)分支.1903年,英國邏輯學(xué)家,數(shù)學(xué)家,諾貝爾和平獎(jiǎng)獲得者羅素卻對集合論提出了以他的名字命名的"羅素悖論".后來,他用一個(gè)"理發(fā)師悖論"來形象地說明自己的悖論: 一個(gè)鄉(xiāng)村理發(fā)師宣布一項(xiàng)原則: 他給而且只給本村那些不給自己刮臉的人刮臉.于是就產(chǎn)生了一個(gè)問題: 他給自己刮臉嗎? 很顯然,在邏輯上,他無論怎樣做,都會違背自己的原則.用集合論的語言可以把這一悖論表述如下: N是一個(gè)集合,它是由那些不屬于元素x自身的元素組成,即N={x|x不屬于x}.那么,N是否屬于集合N呢? 顯然,無論在什么情況下都是自相矛盾的.由于19世紀(jì)末嚴(yán)格的微積分理論的建立,第一,二次的危機(jī)已經(jīng)解決.然而,建立嚴(yán)格的微積分的理論基礎(chǔ)是集合論,而集合論的誕生卻又偏偏出現(xiàn)了"羅素悖論",因而數(shù)學(xué)面臨著更嚴(yán)重的危機(jī),其理論基礎(chǔ)也發(fā)生了動(dòng)搖.20世紀(jì)初,羅素悖論構(gòu)成的危機(jī)確實(shí)震撼了國際數(shù)學(xué)界,但是,有危機(jī)并非總是壞事,在科學(xué)中,理論的突破是通過科學(xué)革命實(shí)現(xiàn)的,而科學(xué)革命則往往是由危機(jī)促成的.危機(jī)是科學(xué)中新理論出現(xiàn)的前奏.后來的事實(shí)也證明了這一點(diǎn).羅素悖論的提出,促使
更多的科學(xué)家去研究集合論的無矛盾問題,從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的一個(gè)重要分支------公理集合論.目前已形成了幾個(gè)學(xué)派,各有各的看法,也各有各的道理.眾說紛紜,莫衷一是.正如實(shí)現(xiàn)的其它分支一樣,還有不少重大課題有待人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和研究.