一,有理數(shù)與無理數(shù)的爭論.直白點就是 √2（根號2）是什么數(shù).
　　二,微積分中無窮小量的決定.直白點就是這個無窮小量是0呢還是別的數(shù).
　　三,羅素悖論的產(chǎn)生.直白點就是理發(fā)師到底給不給自己刮胡子的問題.此危機基本已經(jīng)得到規(guī)避.
　　此上是我個人理解的.下面是從別的地方轉(zhuǎn)過來復雜的.希望我的理解對你理解有幫助,當然更希望下面的材料能讓你了解更多.
　　第一次危機：發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘,數(shù)學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派.這個學派集宗教、科學和哲學于一體,該學派人數(shù)固定,知識保密,所有發(fā)明創(chuàng)造都歸于學派領(lǐng)袖.當時人們對有理數(shù)的認識還很有限,對于無理數(shù)的概念更是一無所知,畢達哥拉斯學派所說的數(shù),原來是指整數(shù),他們不把分數(shù)看成一種數(shù),而僅看作兩個整數(shù)之比,他們錯誤地認為,宇宙間的一切現(xiàn)象都歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.該學派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發(fā)現(xiàn),邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù),也不是整數(shù)的比所能表示.希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認為是“荒謬”和違反常識的事.它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條,也沖擊了當時希臘人的傳統(tǒng)見解.使當時希臘數(shù)學家們深感不安,相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死,這就是第一次數(shù)學危機.
　　最后,這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決.兩個幾何線段,如果存在一個第三線段能同時量盡它們,就稱這兩個線段是可通約的,否則稱為不可通約的.正方形的一邊與對角線,就不存在能同時量盡它們的第三線段,因此它們是不可通約的.很顯然,只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制,所謂的數(shù)學危機也就不復存在了.
　　我認為第一次危機的產(chǎn)生最大的意義導致了無理數(shù)地產(chǎn)生,比如說我們現(xiàn)在說的 , 都無法用 來表示,那么我們必須引入新的數(shù)來刻畫這個問題,這樣無理數(shù)便產(chǎn)生了,正是有這種思想,當我們將負數(shù)開方時,人們引入了虛數(shù)i（虛數(shù)的產(chǎn)生導致復變函數(shù)等學科的產(chǎn)生,并在現(xiàn)代工程技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用）,這使我不得不佩服人類的智慧.但我個人認為第一次危機的真正解決在1872年德國數(shù)學家對無理數(shù)的嚴格定義,因為數(shù)學是很強調(diào)其嚴格的邏輯與推證性的.
　　第二次數(shù)學危機：發(fā)生在十七世紀.十七世紀微積分誕生后,由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題,數(shù)學界出現(xiàn)混亂局面,即第二次數(shù)學危機.其實我翻了一下有關(guān)數(shù)學史的資料,微積分的雛形早在古希臘時期就形成了,阿基米德的逼近法實際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素,直到2100年后,牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分.微積分的主要創(chuàng)始人牛頓在一些典型的推導過程中,第一步用了無窮小量作分母進行除法,當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零,去掉那些包含它的項,從而得到所要的公式,在力學和幾何學的應(yīng)用證明了這些公式是正確的,但它的數(shù)學推導過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零?如果是零,怎么能用它做除數(shù)?如果不是零,又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢?
　　直到19世紀,柯西詳細而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論.柯西認為把無窮小量作為確定的量,即使是零,都說不過去,它會與極限的定義發(fā)生矛盾.無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量,因此本質(zhì)上它是變量,而且是以零為極限的量,至此柯西澄清了前人的無窮小的概念,另外Weistrass創(chuàng)立了 極限理論,加上實數(shù)理論,集合論的建立,從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來,第二次數(shù)學危機基本解決.
　　而我自己的理解是一個無窮小量,是不是零要看它是運動的還是靜止的,如果是靜止的,我們當然認為它可以看為零；如果是運動的,比如說1/n,我們說 ,但n個1/n相乘就為1,這就不是無窮小量了,當我們遇到 等情況時,我們可以用洛比達法則反復求導來考查極限,也可以用Taylor展式展開后,一階一階的比,我們總會在有限階比出大小.
　　第三次數(shù)學危機：發(fā)生在1902年,羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學界,號稱天衣無縫,絕對正確的數(shù)學出現(xiàn)了自相矛盾.
　　我從很早以前就讀過“理發(fā)師悖論”,就是一位理發(fā)師給不給自己理發(fā)的人理發(fā).那么理發(fā)師該不該給自己理發(fā)呢?還有大家熟悉的“說謊者悖論”,其大體內(nèi)容是：一個克里特人說：“所有克里特人說的每一句話都是謊話.”試問這句話是真還是假?從數(shù)學上來說,這就是羅素悖論的一個具體例子.
　　羅素在該悖論中所定義的集合R,被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合.事實雖是這樣但原因卻又是什么呢?這是由于R是集合,若R含有自身作為元素,就有R R,那么從集合的角度就有R R.一個集合真包含它自己,這樣的集合顯然是不存在的.因為既要R有異于R的元素,又要R與R是相同的,這顯然是不可能的.因此,任何集合都必須遵循R R的基本原則, 否則就是不合法的集合.這樣看來,羅素悖論中所定義的一切R R的集合,就應(yīng)該是一切合法集合的集合,也就是所有集合的集合,這就是同類事物包含所有的同類事物,必會引出最大的這類事物.歸根結(jié)底,R也就是包含一切集合的“最大的集合”了.因此可以明確了,實質(zhì)上,羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論.
　　從此,數(shù)學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法,其中之一是把集合論建立在一組 公理之上,以回避悖論.首先進行這個工作的是德國數(shù)學家策梅羅,他提出七條公理,建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論,又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學家弗芝克爾的改進,形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂ZF公理系統(tǒng)）,這場數(shù)學危機到此緩和下來.
　　現(xiàn)在,我們通過離散數(shù)學的學習,知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論,集合是先定義了全集I,空集 ,在經(jīng)過一系列一元和二元運算而得來得.而在七條公理上建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論,使現(xiàn)代數(shù)學得以發(fā)展.