1、當(dāng)x>1時,令x=secu,則(1/x)=cosu,則√(x^2-1)=tanu,dx=secutanudu
原式=∫ 1 / [ secu*tanu ] *secutanu du=∫ 1du=u+C=arccos(1/x)+C
當(dāng)x1,dx=-dt
∫ 1 / [ x √(x^2-1) ] dx = ∫ 1 / [(-t) √(t^2-1) ] d(-t)=∫ 1 / [t √(t^2-1) ] dt,與剛才那個完全一樣,直接用剛才的結(jié)果,得arccos(1/t)+C=arccos(-1/x)+C,
兩個結(jié)合就得到：arccos 1/|x| + C
2、類似,當(dāng)x>1時,令x=secu,則(1/x)=cosu,則√(x^2-1)=tanu,dx=secutanudu
原式= ∫ (tanu /secu) *secutanudu=∫ (tanuj)^2 du=∫ [(secuj)^2-1] du=tanu-u+C
=√(x^2-1)-arccos(1/x)+C
當(dāng)x1,dx=-dt
∫ √(x^2 - 1) / x dx = ∫ √(t^2 - 1) /(-t) d(-t)=∫ √(t^2 - 1) / t dt
與剛才完全一樣,直接用剛才結(jié)果,得：√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+C
這道題你答案寫錯了.嗯嗯, 答案最后是寫錯了有個問題啊最后那個√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+Ct = -x 則 1/t = -1/xarccos(1/t) = arccos(-1/x) =- arccos(1/x) ???為什么負(fù)號會變正號我寫錯了，應(yīng)該是，√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)-arccos(-1/x)+C綜上，最后結(jié)果為√(x^2-1)-arccos(1/|x|)+C這個負(fù)號不能提出來的，哈哈。但是我書上寫的答案是√(x^2-1) + arccos (1/x) + C , 當(dāng)x<-1√(x^2-1) - arccos (1/x) + C , 當(dāng)x> 1是書本上的答案錯了嗎??但是把兩個情況的答案求導(dǎo)結(jié)果都是跟題目一樣啊~那到底是哪里出問題了??我剛才暈頭了，這個也是對的。當(dāng)a<0時，arccos(-a)=π-arccos(a)因此當(dāng)x<-1時，√(x^2-1) - arccos (-1/x) + C=√(x^2-1)- [π- arccos (1/x) ]+ C =√(x^2-1)- π + arccos (1/x) + C然后-π合并到常數(shù)C里面去了，這個也是對的。寫成√(x^2-1) - arccos |1/x| + C也對