這個題目有兩大思路.
第一思路利用求根公式求出方程的根
x = (-a ± 3|a|)/(2a^2)
-2a^2 ≤ -a + 3|a| ≤ 2a^2
或者
-2a^2 ≤ -a - 3|a| ≤ 2a^2
然后以 a > 0 和 a < 0 分別討論以上不等式.
此思路似乎并不簡潔.
第二思路 是結(jié)合函數(shù)圖象.
f(x) = a^2 x^^2 + a x -2 是開口向上的拋物線.
根據(jù)判別式恒大于0,容易判斷,不論a取何值(a=0除外）,此拋物線與 x 軸始終有2個交點.
根據(jù)題目要求,至少要有一個交點 介于 [-1,1]
結(jié)合函數(shù)圖象可以判斷出：
當 f(-1) < 0 ,同時 f(1) < 0 時,在 [-1,1] 區(qū)間無交點
當 f(-1) > 0 ,f(1) > 0 且 拋物線對稱軸 介于 [-1,1] 區(qū)間之外時,則在 [-1,1] 區(qū)間無交點.
除去以上2種情況,在 [-1,1] 區(qū)間必有交點.
f(-1) = a^2 -a -2 = (a-2)(a+1)
f(1) = a^2 + a -2 = (a+2)(a-1)
f(x) = a^2(x^2 + x/a) - 2 = a^2[ x + 1/(2a)] + ……
所以對稱軸為 x = - 1/(2a)
對稱軸 位于 [-1,1] 之外的不等式為
-1/(2a) > 1 且 -1/(2a) < -1
其解為 {-1/2 < a < 1/2 且 a ≠ 0 }
不等式組 f(-1) < 0 ,f(1) < 0 的解為
{-1 < a < 2} ∩ { -2 < a < 1} = -1 < a < 1
不等式組 f(-1) > 0 ,f(1) > 0 的解為
{ a < -1 或 a > 2 } ∩ { a < -2 或 a > 1} = a < -2 或 a > 2
在與 對稱軸位于 [-1,1]區(qū)間之外的解{-1/2 < a < 1/2 且 a ≠ 0 } 取交集.其解為空集.
因此 兩個交點都不在 [-1,1] 區(qū)間內(nèi)的必要條件是 -1 < a < 1
反過來,在 [-1,1] 區(qū)間內(nèi)至少有一個交點的必要條件是:
a ≤ -1 或 a ≥1
我覺得思路二更好些.看上去麻煩,但是實際上是我的解釋太詳細所導致.