求波函數(shù)就是求解Schr.eq.的問題.
一維定態(tài)Schr.eq.一般比較容易求解,代入一維勢函數(shù)V（x）得到二階線性常微分方程,根據(jù)方程系數(shù)定出波函數(shù)ψ(x)通解形式,將邊值條件代入ψ(x),并利用波函數(shù)歸一化條件確定ψ(x)中的各個(gè)系數(shù),這樣就得到了波函數(shù)ψ(x)的表達(dá)式.通常為了滿足邊值條件,波函數(shù)ψ(x)中的系數(shù)必須取分立值,比如為了滿足邊界條件ψ(a)=Asin(ka)=0,必須令ka=nπ (n=1,2,3...),于是方程變?yōu)棣?x)=Asin(nπx/a) (n=1,2,3...),由此引入了量子化的概念,以量子數(shù)n表征不同的本征態(tài).
有些問題解起來比較復(fù)雜,比如氫原子勢會(huì)涉及合流超幾何方程、球方勢阱會(huì)用到球Bessel函數(shù)等等,這些比較特殊的函數(shù)通常可以在數(shù)學(xué)物理方法上找到對應(yīng)的解決辦法.但一般說來求波函數(shù)的大致步驟都是一樣的,就是把勢函數(shù)代入Schr.eq.解方程,最后利用波函數(shù)的歸一化條件定系數(shù).
除了上面說的一般解法之外,在求解一些本征值問題時(shí)可以使用代數(shù)解法,比如求解一維諧振子勢時(shí)利用升降算符對Schr.eq.進(jìn)行因式分解,可以很方便的求出系統(tǒng)的本征態(tài).
在數(shù)學(xué)方面要求并不太高,通常會(huì)解常微分方程就可以了.一些特殊的函數(shù)大致了解求解的方法,一般只需要記住結(jié)論.