如果存在a,b∈F,使f(x)=a（x-b）^n,那么顯然f'(x)|f(x),所以條件的充分性得證.
現(xiàn)在證明必要性,因?yàn)閒是多項(xiàng)式,假設(shè)是n次的,
所以,degf'(x)=degf(x)-1,又因?yàn)?br/>f'(x)|f(x),所以存在一次多項(xiàng)式mx+p,使得
f(x)=(mx+p)f'(x),求導(dǎo)得到：f'（x）=mf'(x)+(mx+p)f''(x),
如果m＝1,那么(x+p)f''(x)=0,知道f''(x)=0,于是f'是常數(shù)k,于是f是一次多項(xiàng)式f(x)=(x+n)f'(x)=k(x+p)得證,
如果m≠1,那么得到
f'（x）=(mx+p)f''(x)/(1-m)＝c(1)(mx+p)f''(x),
C(1)是常數(shù)1/(m-1)
再求導(dǎo),不斷的進(jìn)行,到n-1階和n階,得到一系列遞推關(guān)系：
f(x)=(mx+p)f'(x),f'（x）＝c(1)(mx+p)f''(x),
f''（x）＝c(2)(mx+n)f'''(x),...f^(n)（n階導(dǎo)數(shù)）＝c(n)【因?yàn)閚次多項(xiàng)式n階導(dǎo)數(shù)是常數(shù)】
把這些遞推連起來(lái)寫,就有f(x)=c(1)c(2)...c(n)(mx+p)^n
至于這時(shí)a是多少,b是多少,我想你不難看出來(lái)吧.
【多項(xiàng)式可以有任意階導(dǎo)數(shù),還用告訴嗎?是不是你碰到一個(gè)函數(shù),自己不敢判斷,都要題中告訴你能不能求導(dǎo)啊?