換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等.　　換元的種類有：等參量換元、非等量換元
（一） 代數(shù)換元法
例 解方程 —=1
解 ：令=t ( t0 )
則=1+t
于是有：
(1)-(2) 得：t = 2 代入（2）得：
2x2-3x-2 = 0 解之得：x1 = 2,x2 = -
經(jīng)檢驗(yàn)知：x1 = 2和 x2 = -均為原方程的解.
例2 求證：（ ）
證明：令 y = 則：x2+2 = y2+1
從而原式 =
所以
小結(jié)：例1小結(jié)：通過換元避免了常規(guī)解法中兩次平方的復(fù)雜運(yùn)算,使問題更加容易解決.此曰：代數(shù)換元法.例2通過換元使問題更加明朗.再用均值證明不等式.
例3求函數(shù)y = sinxcosx + sinx + cosx的值域
令 t = sinx + cosx = sin(x+)
則 t[]
而 sinxcosx = [(sinx+cosx)2-1] =(t2-1)
所以y =(t2-1)+t =(t+1)2-1
當(dāng)t = -1時(shí),ymin = -1
當(dāng)t =時(shí),ymax =+
故函數(shù)的值域?yàn)?[-1,+] .
（二）常量換元法
例4 已知f(x) = 2x5+3x3-x2-4x+12,求f(1-)的值.
設(shè)1-= x 則x2+2x-1 = 0
∵ 2x5+3x3-x2-4x+12 = (2x3-4x2+13x-31)(x2+2x-1)+
71x-19
= 71x-19
∴ f(1-) = 71(1-)-19
= 52-71
小結(jié)：利用常量換元法構(gòu)造零因子,使計(jì)算量大大減小.充分體現(xiàn)常量換元法在解題中的精妙作用.
問題推廣：
例5已知f(x-3) = 2x2+5x-6,求f(x)的解析式.
令x-3 = t 則x = t+3
把x = t+3代入f(x-3) = 2x2+5x-6 得：
f(t) = 2(t+3)2+5(t+3)-6
= 2t2+17t+27
所以 f(x) = 2x2+17t+27
小結(jié)：常量換元法是求函數(shù)解析式的常見方法.
（三）比例換元法
例6 若== 求證：
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
證明:設(shè)===
則x=Rtan(θ+α) y=Rtan(θ+β) z=Rtan(θ+γ)
sin2(α-β)= 〔cos2(θ+β)-cos2(θ+α)〕
sin2(β-γ)= 〔cos2(θ+γ)-cos2(θ+β)〕
sin2(γ-α)= 〔cos2(θ+α)-cos2(θ+γ)〕
將上述三式相加得：
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
小結(jié)：注意題型結(jié)構(gòu)特點(diǎn),類似比例式子,利用適當(dāng)換元,通過三角運(yùn)算,使問題化繁為簡(jiǎn),更容易解決.
（四）標(biāo)準(zhǔn)量換元法
例7設(shè)a1,a2 ,a3,…,a2004均為實(shí)數(shù),
若a1+a2+a3+…+a2004=2004 …… (1)
…… (2)
求證：=2004
證明：令a1=1+m1,a2=1+m2,a3=1+m3 ,…,a2004=1+m2004
由（1）式可得：
m1+m2+m3+…+m2004=0 …… (3)
由（2）式可得
(1+m1)2+(1+m2)2+(1+m3)2+…+(1+m2004)2=2004
將其展開并將（3）代入,化簡(jiǎn)得：
=0
故:
m1=m2=m3=m2004=0
即:
a1=a2=a3=…=a2004=1
所以：
小結(jié)：例中選“1”作為“標(biāo)準(zhǔn)量”,把a(bǔ)1,a2 ,a3 …a2004都用“1”和輔助量m1,m2,m3,…,m2004表示.此種方法為“標(biāo)準(zhǔn)量換元法”.
（五）三角換元法
例8（1）以知x>0,y>0,且,求x+y的最小值
（2）解不等式：
（1）設(shè)=cos2θ,sin2θ （0