(1)∵f(x+2)是偶函數(shù),故f(x+2)=f(-x-2)
帶入用x+2和-x-2分別替換x,因?yàn)槭桥己瘮?shù),則有f(x+2)=a(x+2)^2+b(x+2)+1=a(-x-2)^2-b(x+2)+1
∴b=0 f(x)=ax^2+1
又因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2)都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[1/2(x1+x2)]成立
所以f(x)是一個(gè)凹函數(shù),則二次求導(dǎo)恒大于零
即f''(x)=2a>0 ∴a＞0
(2)∵f(x)=ax^2+1,其對稱軸為y軸.又a＞0
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增,所以f(a)=a^3+1為最小值,f(a+2)=a^3+4a^2+4a+1為最大值
∴f(x)在[a,a+2]上的值域?yàn)閇a^3+1,a^3+4a^2+4a+1]
(3)
設(shè)存在常數(shù)a使且D的長度為10-a^3.
∵f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增,
∴f(3)=9a^2+1為最大值 f(a)=a^3+1為最小值
值域?yàn)樽畲笾?最小值,即9a^2+1-(a^3+1)=9a^2-a^3=10-a^3
解得a=(根號10)/3
綜上,a取值范圍為{a|a＞0}
f(x)在[a,a+2]上的值域?yàn)閇a^3+1,a^3+4a^2+4a+1]
a=(根號10)/3時(shí)使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,3]的值域D的長度為10-a^3
有不明白可以提出吧..