純代數解法,帶有絕對值的方程,一般是調整后采用兩邊同時平方來解決.
由于|x+1|+|x-2|恒大等于0,所以兩邊同時平方不會變化不等號方向.
兩邊同時平方,不等式成立,轉化為
(|x+1|+|x-2|)^2 > 25
展開
（|x+1|）^2 + 2* |x+1| * |x-2| + (|x-2|)^2 >25
由于
(|x+1|)^2 = （x+1）^2 和(|x-2|)^2 = (x-2)^2,所以變化為
x^2+2x+1 + x^2-4x+4 + 2 * |x+1|*|x-2| >25
整理一下
2x^2 - 2x + 5 + 2 * |x+1|*|x-2| > 25
再整理
2x^2 - 2x + 2 * |x+1|*|x-2| > 20
又由于
|x+1|*|x-2| = |(x+1)(x-2)｜
所以繼續(xù)變形
2x^2 - 2x + 2 * |(x+1)(x-2)｜ > 20
移動一下,整理一下
2 * |(x+1)(x-2)｜ > 20 - 2x^2 + 2x
兩邊都除以2
|(x+1)(x-2)｜ > 10 - x^2 + x
由于
|(x+1)(x-2)｜ > 10 - x^2 + x
則
(x+1)(x-2) > 10 - x^2 + x
或者
(x+1)(x-2) < -(10 - x^2 + x)
這樣就有兩個式子
(x+1)(x-2) > 10 - x^2 + x
和
(x+1)(x-2) < -(10 - x^2 + x)
這里兩個不等式有其中之一成立即可
先整理第一個式子
(x+1)(x-2) > 10 - x^2 + x
x^2 - x - 2 > 10 - x^2 + x
2x^2 - 2 x - 12> 0
x^2 - x - 6 >0
(x - 3)(x + 2) > 0
所以x > 3或者x < - 2
再整理第二個式子
(x+1)(x-2) < -(10 - x^2 + x)
x^2 - x - 2 < -10 + x^2 - x
整理為
-2 < -10 恒不成立,所以第二個不等式的解是空集
x > 3或者x < - 2 和空集合并,
最后為 x > 3或者x < - 2
所以最后結果為x > 3或者x < - 2