1. 所求中點(x,y)、p點、圓心(-2,6) 三點構成直角三角形
用勾股定理：得
x^2+(y-5)^2+(x+2)^2+(y-6)^2=(2-0)^2+(6-5)^2
x^2+y^2-11y+2x+30=0
(x+1)^2+(y-(11/2))^2=5/4
這就是所求 以(-1,11/2)為圓心,二分之根5為半徑的圓
2. 首先：直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m屬于R)
是過定點的直線
求出這個定點：
(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
m（2x+y）+x+y=7m+4
只要2x+y=7
x+y=4
得（3,1）這點,直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m屬于R)是過（3,1）的直線,
顯然這點在圓內；
現在的問題就成了 過圓內一點的直線l被圓C截得的弦的最短長度
顯然：這點和圓心的連線垂直于直線時弦最短
因為如果點和圓心的連線不垂直于直線
那么圓心于直線的垂線 和 點和圓心的連線是直角邊和斜邊的關系
點和圓心的連線最大
顯然的圓心于直線的垂線越長 弦就更短 應為他們構成的直角三角形的斜邊是半徑r ,一定的
所以：求出點和圓心的連線的斜率：
（2-1）/(1-3)=-1/2
所以l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m屬于R)的斜率=-1/-1/2=2(垂直的關系)
所以：
-(2m+1)/(m+1)=2 m=-3/4
那弦的最短長度=√（r^2-點和圓心的連線的平方）
點和圓心的連線的距離的平方：（1-3）^2+(2-1)^2=5
最短長度=√（5^2-5）=√20=4√5
3. 取A關于直線2x-y-4=0的對稱點A'(0,1)
|PA-PB|=|PA'-PB|≤A'B=3√2(三角形兩邊之差小于第三邊)
當P位于A'B延長線上時,取等號.
A'B方程：y=x+1,與2x-y-4=0聯(lián)立,得P(5,6)
--->P坐標為(5,6)時,距離之差最大=3√2
4.設A(x1,y1)B(x2,y2).
AB的方程為:y=[(根號3)/3]x+p/2
焦點為(0,p/2).準線方程為:y=-p/2
w自A,B分別向準線做垂線,交準線于C,D.
按定義知:|AF|=|AC|=y1+p/2=[(根號3)/3]x1+p,
|BF|=|BD|=y2+p/2=[(根號3)/3]x2+p, .
|AF|/|BF|={[(根號3)/3]x1+p}/{[(根號3)/3]x2+p}(1)
再求交點的橫坐標,解方程:x^2=2p{[(根號3)/3]x+p/2}
即:x^2-2p[(根號3)/3]x-p^2=0
解得:x1=[(根號3)/3 -(2根號3)/3]p=-[(根號3)/3]p
x2=[(根號3)/3 +(2根號3)/3]p=(根號3)p
代入(1),得:
|AF|/|BF|=(-1/3+1)/(1+1)=1/3
5.a^2=4,b^2=3
則c^2=1
e=c/a=1/2
則MF/M到右準線距離=1/2
M到右準線距離=2MF
右準線x=a^2/c=4
P到右準線距離=4-1=3
作PQ垂直右準線,
則當M是PQ和橢圓交點時距離和最小
所以M(x,-1)
代入,M(±2√6/3,-1)