二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)問題
二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)里 定理是通解是y=c1y1+c2y2 作為2階方程設(shè)兩個常數(shù)的y函數(shù)我能明白,但是他怎么保證解就是這個,就不會有一個不帶c1c2的y3出來嗎,非齊次的時候不是跟了個尾巴來嗎,書上沒說明啊,聯(lián)系齊次方程右邊為0通解不帶別的東西,非齊次右邊不為0通解帶了東西,是不是這之間有聯(lián)系
本來還想問為什么齊次的解的結(jié)構(gòu)不存在y3跟y1y2線性無關(guān)，后來找了找發(fā)現(xiàn)對線性相關(guān)了解不深入，我看到一句話：在解二階微分方程的時候,無可避免地要進(jìn)行兩次積分.兩次積分就會產(chǎn)生兩個"任意常數(shù)".雖然解有無窮多個,但其中有兩個線性無關(guān)的特解.所有的解都是這兩個特解的線性疊加.然后我就突然理解了，其實找通解是找方程的解跟常數(shù)的結(jié)合方式，所以實際上是想辦法另c1c2出現(xiàn)，只要出現(xiàn)了就是通解，這樣無論出現(xiàn)不帶c1c2的y3y4等等都能由y1y2線性疊加出來，換句話說，2階齊次通解的最簡形式是y=c1y1+c2y2，所以跟y1y2線性無關(guān)的y3是不可能出現(xiàn)的