先考慮對哪些正整數(shù)n,2^n-1或2^n+1是完全平方數(shù).
(1) 對于前者,n = 1時(shí),2^n-1 = 1是完全平方數(shù).
n ≥ 2時(shí),2^n-1 ≡ 3 (mod 4),因此不可能是完全平方數(shù).
(2) 對于后者,設(shè)有正整數(shù)x滿足x^2 = 2^n+1,則2^n = x^2-1 = (x+1)(x-1).
因?yàn)閤+1與x-1中至少有一個(gè)不被4整除,所以另一個(gè)必須被2^(n-1)整除.
由此可得x ≥ 2^(n-1)-1,2^n = x^2-1 ≥ (2^(n-1)-2)·2^(n-1).
化簡得2^(n-1) ≤ 4,因此n ≤ 3.
對n = 1,2,3分別驗(yàn)證知,只有n = 3時(shí)2^n+1 = 9為完全平方數(shù).
回到原題.
對質(zhì)數(shù)p > 2,可設(shè)p = 2k+1,k為正整數(shù).
于是(2^(p-1)-1)/p = (2^(2k)-1)/p = (2^k-1)(2^k+1)/p.
注意有(2^k-1,2^k+1) = (2^k-1,2) = 1,即2^k+1與2^k-1互質(zhì).
質(zhì)數(shù)p | (2^k-1)(2^k+1),因此p整除二者之一.
(1) 若p | 2^k-1,即(2^k-1)/p為整數(shù).
一方面,2^k+1與(2^k-1)/p也是互質(zhì)的,
另一方面,二者的乘積是完全平方數(shù).
這說明二者都是完全平方數(shù).
已證僅當(dāng)k = 3時(shí),2^k+1是完全平方數(shù).
對應(yīng)p = 7可驗(yàn)證滿足要求.
(2) 若p | 2^k+1,即(2^k+1)/p為整數(shù).
同樣由2^k-1與(2^k+1)/p互質(zhì),且二者乘積為完全平方數(shù),
可得二者都是完全平方數(shù).
已證僅當(dāng)k = 1時(shí),2^k-1是完全平方數(shù).
對應(yīng)p = 3可驗(yàn)證滿足要求.
綜上,滿足要求的質(zhì)數(shù)p僅有3和7.謝謝 為什么x+1和x-1至少有一個(gè)不被4整除 另一個(gè)就一定被2^（n-1）整除？如果x+1與x-1都不被4整除呢？兩個(gè)數(shù)的乘積一共含有n個(gè)質(zhì)因子2,
如果其中一個(gè)含有質(zhì)因子2的個(gè)數(shù)不超過1,
那另一個(gè)至少含有質(zhì)因子2個(gè)數(shù)就不小于n-1.

另外, 這里成立的是(x+1)(x-1) = 2^n,
所以后面那段分析也可以改為:
x+1和x-1都必須是2的方冪.
不被4整除的2的方冪, 只能是1或2.
又x > 1, 只有x = 2或3,
檢驗(yàn)得只有x = 3時(shí)對應(yīng)n = 3.