首先由牛頓力學(xué),單擺的運(yùn)動(dòng)可作如下描述：
單擺受到的重力矩為：
M = - m * g * l * Sin x.
其中m為質(zhì)量,g是重力加速度,l是擺長(zhǎng),x是擺角.
我們希望得到擺角x的關(guān)于時(shí)間的函數(shù),來(lái)描述單擺運(yùn)動(dòng).由力矩與角加速度的關(guān)系不難得到,
M = J * β.
其中J = m * l^2是單擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,β = x''（擺角關(guān)于時(shí)間的2階導(dǎo)數(shù)）是角加速度.
于是化簡(jiǎn)得到
x'' * l = - g * Sin x.
我們對(duì)上式適當(dāng)?shù)剡x擇比例系數(shù),就可以把常數(shù)l與g約去,再移項(xiàng)就得到化簡(jiǎn)了的運(yùn)動(dòng)方程
x'' + Sin x = 0.
因?yàn)閱螖[的運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）是
x'' + Sin x = 0…………（1）
而標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
我們知道（1）式是一個(gè)非線(xiàn)性微分方程,而（2）式是一個(gè)線(xiàn)性微分方程.所以嚴(yán)格地說(shuō)上面的（1）式描述的單擺的運(yùn)動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
不過(guò),在x比較小時(shí),近似地有Sin x ≈ x.（這里取的是弧度制.即當(dāng)x -> 0時(shí)有Sin x / x = o(1).）因而此時(shí)（1）式就變?yōu)椋?）式,單擺的非線(xiàn)性的運(yùn)動(dòng)被線(xiàn)性地近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
然后說(shuō)一下為什么是5°.由于Sin x ≈ x這個(gè)近似公式只在角度比較小的時(shí)候成立（這一個(gè)可以從正弦函數(shù)的在原點(diǎn)附近的圖象近似看出）,所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的.
事實(shí)上5°≈0.087266弧度,Sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一點(diǎn)幾,是十分接近的.在低精度的實(shí)驗(yàn)中,這種系統(tǒng)誤差可以忽略不計(jì)（因?yàn)閷?shí)驗(yàn)操作中的偶然誤差就比它大）.但如果換成25°,誤差高達(dá)百分之三,就不宜再看成是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了.
由于正弦函數(shù)的性質(zhì),這個(gè)近似是角度越小,越精確,角度越大越不精確.如果角度很大（比如60度處,誤差高達(dá)17%）,就完全不能說(shuō)它是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了.
上面的內(nèi)容也可以參考：