求一個有理數(shù),使x^2+5和x^2-5都是有理數(shù)的平方?

數(shù)學人氣：785 ℃時間：2020-05-21 00:18:54

優(yōu)質解答

x = 41/12,x²+5 = (49/12)²,x²-5 = (31/12)².
不是求一個滿足條件的有理數(shù)嗎?所以我給了一個例子x = 41/12.
我沒有什么好方法,就是設x = X/Y,求方程X²+5Y² = Z²,X²-5Y² = W²的正整數(shù)解.
取定Y然后分別求解(Z-X)(Z+X) = 5Y²和(X-W)(X+W) = 5Y²,直至二者有X相等的解.
依次嘗試Y = 1,2,...直至Y = 12時得到如上的解.
這個問題可以轉化為求一個3次曲線上的有理點,據(jù)我所知這個問題是很難的.
不過在已知一個有理點的情況下可以得到更多的有理點.
這背后有比較深刻的理論.
如果有問題請追問.