不定積分問題 ①∫sin²(3x)cosxdx；② ∫dx/(a²-x²)^(3/2) ；③∫dx/x²√(x²-a²）要詳細過程
①∫sin²(3x)cosxdx=∫(3sinx-4sin³x)²cosxdx=∫[9sin²x-24sin⁴x+16(sinx)^6]d(sinx)
=3sin³x-(24/5)(sinx)^5+(16/7)(sinx)^7+C
[此處用了三角公式：sin3x=3sinx-4sin³x]
② ∫dx/(a²-x²)^(3/2)=∫dx/[(a²-x²)√(a²-x²)]=∫dx/{(a²-x²)a√[1-(x/a)²]}
令x/a=sinu,則x=asinu,dx=acosudu,代入上式得：
=∫acosudu/[a²-a²sin²u)a√(1-sin²u)=∫du/(a²cos²u)=(1/a²)tanu+C=(1/a²)[x/√(a²-x²)]+C
③∫dx/x²√(x²-a²)=(1/a)∫dx/{x²√[(x/a)²-1]}
令x/a=secu,則x=asecu,dx=asecutanudu,代入上式得：
=∫secutanudu/[a²sec²u√(sec²u-1)]=∫secutanudu/a²sec²utanu=(1/a²)∫du/secu=(1/a²)∫cosudu
=(1/a²)sinu+C=(1/a²)[√(x²-a²)]/x+C=[√(x²-a²)]/a²x+C第一個好像不對啊是三角公式不對？還是積分運算有錯？請明示！結果d[3sin³x-(24/5)(sinx)^5+(16/7)(sinx)^7+C]/dx=[9sin²x-24sin⁴x+16(sinx)^6]cosx=(3sinx-4sin³x)²cosx=sin²(3x)cosx=被積函數(shù)結果完全正確！