有點(diǎn)多,你確認(rèn)要要?
我一點(diǎn)一點(diǎn)的給你打 .
k=101的證明吧
假設(shè)存在連續(xù)101個(gè)正整數(shù)之積為完全平方數(shù),則這101個(gè)正整數(shù)中,至多2個(gè)97的倍數(shù),2個(gè)89的倍數(shù),2個(gè)83的倍數(shù),2個(gè)79的倍數(shù),2個(gè)73的倍數(shù),2個(gè)71的倍數(shù),2個(gè)67的倍數(shù),2個(gè)61的倍數(shù),2個(gè)59的倍數(shù),2個(gè)53的倍數(shù),3個(gè)47的倍數(shù),3個(gè)43的倍數(shù),3個(gè)41的倍數(shù),3個(gè)37的倍數(shù),4個(gè)31的倍數(shù),4個(gè)29的倍數(shù),5個(gè)23的倍數(shù),6個(gè)19的倍數(shù),6個(gè)17的倍數(shù),8個(gè)13的倍數(shù),10個(gè)11的倍數(shù),15個(gè)7的倍數(shù)

101-2*10-3*4-4*2-5-6*2-8-10-15=11

所以至少有11個(gè)數(shù)的素因子要么是2,3,5,要么不小于101
顯然,這些數(shù)的不小于101的素因子的次數(shù)均為偶數(shù).
又若這些數(shù)的2,3,5的次數(shù)≥2,則總可以減去一個(gè)偶數(shù),使次數(shù)變成0或1

于是這11個(gè)數(shù)可以表示為如下形式:(2^Ri)*(3^Si)*(5^Ti)*(Ui^2),其中Ri,Si,Ti為0或1,Ui為正整數(shù),1≤i≤11

因?yàn)椴煌臄?shù)組(Ri,Si,Ti)只有8組,固由抽屜原理知,必有2個(gè)數(shù)組完全相同.那么對應(yīng)的這2個(gè)數(shù)之積為完全平方數(shù)

設(shè)這2個(gè)數(shù)為m,m+n,則m(m+n)為完全平方數(shù),其中m,n為正整數(shù),且1≤n≤100
設(shè)(m,n)=d,則m=ds^2,m+n=dt^2,其中d,s,t為正整數(shù),s2ds

所以m=ds^2≤(ds)^2≤49^2=2401

這說明,這連續(xù)101個(gè)正整數(shù)中,必有一個(gè)數(shù)不超過2401

又根據(jù)101,199,293,389,487,587,683,773,863,953,1051,1151,1249,1327,1427,1523,1621,1721,1811,1907,2003,2099,2179,2273,2371,2467這26個(gè)素?cái)?shù)可以知道,只要這連續(xù)101個(gè)正整數(shù)中有一個(gè)數(shù)不超過2401,那么必有這26個(gè)素?cái)?shù)其中之一,顯然同這連續(xù)101個(gè)正整數(shù)之積為完全平方數(shù)矛盾