這道題就是托勒密定理及其推廣的證明.
托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD,求證:AB*CD+AD*BC=AC*BD.
證明：
先畫一個圓,內(nèi)接四邊形ABCD
連接AC,BD
在BD 上找一點M
作∠BAM=∠CAD
因為 ∠ABD=∠ACD
所以 三角形ABM 相似于 三角形ACD
AB/BM=AC/CD 變形
AB*CD=AC*BM
而且 ∠MAD=∠BAC 又因為 ∠ADM=∠ACB
所以 三角形ADM 相似于 三角形ACB
AD/DM=AC/CB 變形
AD*BC=AC*DM
所以 AD*BC+AB*CD=(DM+BM)*AC=AC*BD.
定理的推廣:凸四邊形ABCD中,有AB*CD+AD*BC>=AC*BD,僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時等號成立.
證明：
作角ABM=角ACD,角BAM=角CAD,由△ABM相似于△ACD,AB*CD=AC*BM,AB/AM=AC/AD,又角CAB=角DAM,故△ABC相似于△AMD,得
AD*BC=AC*MD,兩式相加得AB*CD+AD*BC=AC*(BM+MD)>=AC*BD,僅當(dāng)M在BD上時等號成立,這時角ABD=角ACD,即四邊形是圓內(nèi)接四邊形.