不知道你能不能上到維基百科,以下這篇文章就來(lái)自那里,但是有些符號(hào)和數(shù)學(xué)等式由于是圖片無(wú)法貼過(guò)來(lái),最好你能自己去這個(gè)網(wǎng)頁(yè)上看看：
無(wú)窮或者無(wú)限,來(lái)自于拉丁文的“infinitas”即“沒有邊界”的意思.它在神學(xué)、哲學(xué)、數(shù)學(xué)和日常生活中有著不同的概念.通常使用這個(gè)詞的時(shí)候并不涉及它的更加技術(shù)技術(shù)層面的定義.
在神學(xué)方面,例如在像神學(xué)家Duns Scotus的著作中,上帝的無(wú)限能量是運(yùn)用再無(wú)約束上,而不是運(yùn)用在無(wú)限量上.在哲學(xué)方面,無(wú)窮可以歸因于空間和時(shí)間.在神學(xué)和哲學(xué)兩方面,無(wú)窮又作為無(wú)限、絕對(duì)、上帝和芝諾的悖論在很多文章中被探討.
在數(shù)學(xué)方面,無(wú)窮與如下如下主題或概念相關(guān)：數(shù)學(xué)的極限、aleph數(shù)、群在集合論、Dedekind－無(wú)限群、羅素悖論、hyperreal數(shù)、前瞻幾何、實(shí)數(shù)的擴(kuò)展以及絕對(duì)無(wú)限.在一些主題或概念中,無(wú)窮被認(rèn)為是一個(gè)超越邊界而增加的概念,而不是一個(gè)數(shù).
在大眾文化方面,我們有巴斯光年的吶喊：“去無(wú)限－并超越!”,這句話也可被看作研究大型cardinal的集合論者的吶喊.
[編輯] 歷史
[編輯] 早期無(wú)限的觀點(diǎn)
最早關(guān)于無(wú)限的記載出現(xiàn)在印度的Yajur Veda（公元前1200－900）.書中說(shuō)：“如果你從無(wú)限中移走或添加一部分,剩下的還是無(wú)限.”
印度耆那教的經(jīng)書 Surya Prajnapti (c.400 BC) 把數(shù)分作三類：可計(jì)的、不可計(jì)的 及 無(wú)限.每一類再細(xì)分作三序分：
* 可計(jì)的:小的、 中的 與 大的.
* 不可計(jì)的:接近不可計(jì)的、 真正不可計(jì)的 與 計(jì)無(wú)可計(jì)的.
* 無(wú)限:接近無(wú)限、真正無(wú)限 與 無(wú)窮無(wú)盡.
這是在人類第一次記載上出現(xiàn)無(wú)限也可以分類這一個(gè)念頭.
[編輯] 文藝復(fù)興時(shí)代至近代
伽利略最先發(fā)現(xiàn)一個(gè)集合跟它自已的正適子集可以有相同的大少.他用上一一對(duì)應(yīng)的概念說(shuō)明自然數(shù)集{1,2,3,4 ...}跟子集平方數(shù)集{1,4,9,16,...}一樣多.就是 1→1,2→4,3→9,4→16,.
一一對(duì)應(yīng)正是用於研究無(wú)限必要的手法.
[編輯] 宗教中的無(wú)窮
佛教：無(wú)量壽,無(wú)量光,無(wú)量阿僧只劫,無(wú)量?jī)|劫,四無(wú)量心－－慈、悲、喜、舍,無(wú)量眾生,法門無(wú)量誓愿學(xué),苦海無(wú)邊 道教：無(wú)量天尊、無(wú)量度人、功德無(wú)量
[編輯] 哲學(xué)中的無(wú)窮
[編輯] 數(shù)學(xué)中的無(wú)窮
[編輯] 實(shí)分析中的無(wú)窮
在實(shí)分析中,符號(hào),稱為“無(wú)窮”,代表無(wú)界極限.表示x超出任意給定值,表示x最終小于任意給定值.標(biāo)記為和的點(diǎn)加入到實(shí)數(shù)組成的拓?fù)淇臻g,就產(chǎn)生實(shí)數(shù)集的兩點(diǎn)緊致化.再加入代數(shù)屬性,我們就得到了超實(shí)數(shù).也可將和作為一個(gè)點(diǎn),并得到實(shí)數(shù)的一點(diǎn)緊致化,也就是實(shí)射影線.射影幾何在平面幾何上引入無(wú)窮遠(yuǎn)線,在高維上也有類似概念.
無(wú)窮不但常用于定義極限,在實(shí)數(shù)分析中也可作為一個(gè)擴(kuò)展實(shí)數(shù)集中的值; 若 f(t) ≥ 0 那么
表示f(t) 函數(shù)圖像中t的取值范圍超過(guò)有限的t等于0到1.
表示f(t) 函數(shù)圖像在規(guī)定值范圍內(nèi)的面積隨著它的上限的無(wú)限增大而無(wú)限制增大.
表示盡管f(t) 函數(shù)規(guī)定值上限無(wú)限增大,它的圖像面積仍等于1.
[編輯] 無(wú)窮大和無(wú)窮小
一般講無(wú)窮指的都是無(wú)窮大,但是無(wú)窮小也是一種無(wú)窮.通過(guò)y = 1 / x的映射即可把無(wú)窮大映射為無(wú)窮小.在微積分中,常用高階無(wú)窮小的概念.
[編輯] 集合論中的無(wú)窮
在集合論中對(duì)無(wú)窮有不同的定義.德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出,對(duì)應(yīng)于不同無(wú)窮集合的元素的個(gè)數(shù)(基數(shù)),有不同的「無(wú)窮」.
這里比較不同的無(wú)窮的「大小」的時(shí)候唯一的辦法就是通過(guò)是否可以建立「一一對(duì)應(yīng)關(guān)系」來(lái)判斷,而拋棄了歐幾里德「整體大于部分」的看法.例如整數(shù)集和自然數(shù)集由于可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,它們就具有相同的無(wú)窮基數(shù).
例如,
可數(shù)集合,如自然數(shù)集,整數(shù)集乃至有理數(shù)集對(duì)應(yīng)的基數(shù)被定義為阿列夫0 ().
比可數(shù)集合「大」的稱之為不可數(shù)集合,如實(shí)數(shù)集,其基數(shù)與自然數(shù)的冪集相同().
由于一個(gè)無(wú)窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數(shù),所以通過(guò)構(gòu)造一系列的冪集,可以證明無(wú)窮的基數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的.然而有趣的是,無(wú)窮基數(shù)的個(gè)數(shù)比任何基數(shù)都多,從而它是一個(gè)比任何無(wú)窮大都要大的“無(wú)窮大”,它不能對(duì)應(yīng)于一個(gè)基數(shù),否則會(huì)產(chǎn)生康托爾悖論的一種形式.