我們不妨設(shè)任一組勾股數(shù)：a,b,c,且令a^2+b^2=c^2
再引進兩個整數(shù)p>q>0,令a=p^2-q^2,b=2pq,則c=p^2+q^2
假設(shè)a,b,c里邊沒有一個是5的倍數(shù).
那么a=p^2-q^2=(p+q)(p-q),b=2pq,因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍數(shù).
于是,設(shè)任意非負(fù)整數(shù)m,n
p和q的組成形式只有：
1.p=5m+1,q=5n+2(或p=5m+2,q=5n+1)
2.p=5m+1,q=5n+3(或p=5m+3,q=5n+1)
3.p=5m+2,q=5n+4(或p=5m+4,q=5n+2)
4.p=5m+3,q=5n+4(或p=5m+4,q=5n+3)
因此對于c=p^2+q^2
1.c=(5m+1)^2+(5n+2)^2=25m^2+10m+25n^2+20n+5【或c=(5m+2)^2+(5n+1)^2=25m^2+20m+25n^2+10n+5】,是5的倍數(shù).
對于2.3.4情況同理.
與假設(shè)矛盾.
故a.b.c中必然有一個為5的倍數(shù).
即一組勾股數(shù)中必然有一個數(shù)是5的倍數(shù).
得證.